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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | ||
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* <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.<br> 방정식을 풀기 위해, <math>z=\cos \theta + i \sin \theta</math> 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.<br><math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1</math><br><math>\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1</math><br> <br> | * <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.<br> 방정식을 풀기 위해, <math>z=\cos \theta + i \sin \theta</math> 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.<br><math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1</math><br><math>\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1</math><br> <br> | ||
* <math>z^3=1</math> 의 해는, <math>1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}</math> 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.<br>[/pages/3002568/attachments/1344206 img602.gif]<br> | * <math>z^3=1</math> 의 해는, <math>1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}</math> 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.<br>[/pages/3002568/attachments/1344206 img602.gif]<br> | ||
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2012년 8월 25일 (토) 13:51 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
(정리) 드 무아브르
\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)
여기서 \(\theta\) 는 임의의 실수, \(n\) 은 임의의 정수
증명
- 수학적 귀납법
오일러의 정리를 통한 증명
- [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]]
- 복소지수함수 \(e^{i\theta}=\cos \theta+ i\sin \theta\) 의 성질에서 자연스럽게 유도
\((\cos \theta+ i\sin \theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}= \cos n\theta+ i\sin n\theta\)
정다각형과의 관계
- \(z^n=1\) 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.
방정식을 풀기 위해, \(z=\cos \theta + i \sin \theta\) 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.
\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1\)
\(\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1\)
- \(z^3=1\) 의 해는, \(1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.
[/pages/3002568/attachments/1344206 img602.gif]
많이 나오는 질문
관련된 고교수학 또는 대학수학
- 삼각함수
- 복소수
- 추상대수학
- 추상대수학의 토픽들
- 복소함수론
관련된 항목들
- 정다각형의 작도
- 정오각형
- 가우스와 정17각형의 작도
- 수학사연표
- [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]]
- 정규분포와 중심극한정리
사전형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/복소수
- http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre
- http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula