원주율(파이,π)

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• 원주율(파이,π)

 

 

개요

• 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
• 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다

 

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• 3.141592...
• 수학의 수많은 곳에서 등장한다

 

 

아르키메데스의 부등식

• 223/71 < π < 22/7

 

 

비에타의 공식

• 1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
• 원주율의 무한곱 표현
  \(\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\)
  

 

 

급수표현

• 1680년경에 발견된 라이프니츠 급수

\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)

 

 

마친의 공식

• 1706년 발견된 마친(Machin)의 공식
  \(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)
  

 

 

오일러와 파이

• [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]]
  \(e^{i \pi} +1 = 0\)
  
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
  \(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)
  
• 더 일반적으로 정수에서의 리만제타함수의 값은 다음과 같이 주어진다
  \(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수.
  

 

 

산술기하평균함수와 파이

• 산술기하평균함수(AGM)와 파이)값의 계산

 

 

라마누잔의 공식

• 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표
  \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
  
• 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
• 비슷한 형태로 다음과 같은 공식
  \(\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\)
  
• 라마누잔과 파이 항목을 참조

 

 

 

complex multiplication과 파이

• 타원곡선의 complex multiplication 이론과 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)는 다음과 같은 공식들을 이해할 수 있게 해준다
  \(\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744\)
  \(e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744\)
  \(e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744\)
  
• 숫자 163, 숫자 67 항목과 가우스의 class number one 문제

 

 

파이가 아니라 2파이다?

• 수학의 많은 공식에서는 \(\pi\)가 아닌 \(2\pi\)가 자연스럽게 등장
• 파이가 아니라 2파이다?

 

 

메모

• http://navercast.naver.com/science/math/1094
• http://navercast.naver.com/science/math/204

 

 

하위페이지

• 원주율(파이,π)
  
  • 라마누잔과 파이
    
  • 라이프니츠 급수
    
  • 마친(Machin)의 공식
    
  • 비에타의 공식
    
  • 산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산
    
  • 파이가 아니라 2파이다?
    
  • 파이는 초월수이다
    

 

 

 

관련된 항목들

• [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]]
• 리만제타함수와 리만가설
• 파이(영화)
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
• 너드의 길
  
• 라마누잔과 파이
  
• 삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수
   
  

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• The Quest for Pi.
  
  • David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein and Simon Plouffe.
  • June 25, 1996. Ref: Mathematical Intelligencer, vol. 19, no. 1 (Jan. 1997), pg. 50–57
• The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond (2004).
  
  • Borwein, Jonathan

 

 

관련도서

• Pi-unleashed
  
  • Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, 2000
• Pi and the AGM
  
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, 1998

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관련기사

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