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2012년 11월 2일 (금) 07:44 판
개요
- 해밀턴의 사원수(quarternions)의 일반화
- 직교군의 스핀 표현 (spin representation) 을 구성하기 위한 도구
클리포드 대수
- 이차형식이 주어진 벡터공간 \((V,Q)\)
- Q : non-degenerate quadratic form 으로부터 symmetric bilinear form \(\langle x,y \rangle\) 을 얻는다
- 클리포드 대수: V의 원소들로 생성되는 결합대수(associative algebra)로 다음 관계를 만족시킨다
- \(v^2=Q(v)\)
- \(vw+wv=2\langle w,v\rangle\)
- 외대수(exterior algebra,그라스만 대수)의 양자화로 이해하기도 한다
스피너
- 클리포드 대수의 벡터공간 \(W\) 에서의 표현(representation)을 생각하자
- W의 원소를 스피너라 부른다
파울리 스피너
- 실수체 위에 정의된 8차원 클리포드 대수
- 파울리 행렬 로부터 구성할 수 있다
- 3차원 유클리드 공간 \(E_{3}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{3})\)와 동형이다
- SO(3)의 사영표현을 얻을 수 있다
디랙 스피너
- 16차원 실대수
- 4차원 민코프스키 공간 \(E_{3,1}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{3,1})\) 와 동형
- \(\gamma_{\mu}^2=\epsilon_{\mu}\), \(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}=0\), \(\epsilon_{0}=1, \epsilon_{i}=-1\)
- 4차원 표현이 존재한다
- 로렌츠 군의 사영표현을 얻을 수 있다
- 로렌츠 군의 universal covering \(H=SL(2,\mathbb{C})\) 의 표현
- 디랙 행렬
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
- http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra
- http://en.wikipedia.org/wiki/Spinors_in_three_dimensions
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Peter Woit의 강의 노트
- Lachièze-Rey, Marc. 2009. “Spin and Clifford Algebras, an Introduction”. Advances in Applied Clifford Algebras 19 (3-4): 687-720. doi:10.1007/s00006-009-0187-y.
- http://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/ch5.pdf
- Frescura, F. A. M. 1981. “Geometric interpretation of the Pauli spinor”. American Journal of Physics 49: 152. doi:10.1119/1.12548.
- Vivarelli, Maria Dina. 1984. “Development of spinor descriptions of rotational mechanics from Euler’s rigid body displacement theorem”. Celestial Mechanics 32 (3월): 193-207. doi:10.1007/BF01236599.
- Coquereaux, Robert. 2005. “Clifford algebras, spinors and fundamental interactions : Twenty Years After”. arXiv:math-ph/0509040 (9월 19). http://arxiv.org/abs/math-ph/0509040.