양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

개요

• 다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue

\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

• q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 에서 오일러의 공식에 등장함

\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

 

q-integral (Jackson integral)

• q-적분 참조

• \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의

\[\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\]

• \(q\to 1\) 이면,

\[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]

 

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

• 다이로그 함수(dilogarithm)

\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]

• 잭슨 적분을 이용하여 $\operatorname{Li}_{2,q}(z)$를 다음과 같이 정의

\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) \]

• 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함

\[\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]

 

 

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

• \(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때, \[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\]

 

 

q가 root of unity 일 때의 근사식

• [BR1995] section 3
  

 

바일 대수(Weyl algebra)와 양자 다이로그 항등식

• 양자 바일 대수와 양자평면 참조
• \(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
  
  • q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
    
• Schützenberger 항등식

\[(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}\]

• Faddeev-Volkov 항등식

\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}\]

• Faddeev-Kashaev 양자 5항 관계식 (5-term relation)

\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\]

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

• Notes on Construction of the Knot Invariant from Quantum Dilogarithm Function
• http://ncatlab.org/nlab/show/quantum+dilogarithm
• http://www.birs.ca/events/2010/5-day-workshops/10w5069/videos/watch/201009161744-Keller.mp4

 

 

관련된 항목들

• 5항 관계식 (5-term relation)
• q-적분
• q-감마함수
• q-이항정리
• q-초기하급수의 근사식
• 양자 바일 대수와 양자평면

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTGw0Vy1Ma2R0Ujg/edit

 

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_dilogarithm

 

 

 

관련논문

• Faddeev, L. D. 2012. “Volkov’s Pentagon for the Modular Quantum Dilogarithm.” arXiv:1201.6464 (January 31). http://arxiv.org/abs/1201.6464.
• Quantum dilogarithm, Wadim Zudilin, Preprint, Bonn and Moscow (2006)
• The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm R. M. Kashaev, 1996
• Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal
  Volume 3, Number 2, 205-214, doi:10.1023/A:1006949508631
• [BR1995]Bazhanov, V V,  and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. Journal of Physics A: Mathematical and General 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:10.1088/0305-4470/28/8/014. MR1338071(96k:81087)
• A link invariant from quantum dilogarithm Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
• Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768
  
• Quantum Dilogarithm L.D.Fadeev and R.M.Kashaev, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 MR1264393(95i:11150)