"양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

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* [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 의 q-analogue  
 
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:<math>\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
 
:<math>\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
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* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] 에서 오일러의 공식에 등장함  
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* [[오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식]]에 등장함  
 
:<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
 
:<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
  
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==관련된 항목들==
 
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* [[5항 관계식 (5-term relation)]]
 
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* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)|q-적분]]
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* [[오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식]]
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* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)]]
 
* [[q-감마함수]]
 
* [[q-감마함수]]
 
* [[q-이항정리]]
 
* [[q-이항정리]]

2013년 3월 14일 (목) 09:32 판

개요

\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

 

q-integral (Jackson integral)

  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의

\[\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\]

  • \(q\to 1\) 이면,

\[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]


 

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]

  • 잭슨 적분을 이용하여 $\operatorname{Li}_{2,q}(z)$를 다음과 같이 정의

\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) \]

  • 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함

\[\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]

 

 

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

  • \(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때, \[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\]

 

 

q가 root of unity 일 때의 근사식

  • [BR1995] section 3

 


바일 대수(Weyl algebra)와 양자 다이로그 항등식

\[(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}\]

  • Faddeev-Volkov 항등식

\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}\]

\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\]



 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스


 

사전 형태의 자료


 

리뷰논문과 에세이

 

 

관련논문

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