상수곡률곡면과 사인-고든 방정식

개요

• 비유클리드 기하학 에 대한 관심에서 상수곡률곡면을 찾으려는 시도가 생겨남
• 편미분방정식인 사인-고든 방정식 의 해로부터 상수곡률곡면을 얻을 수 있음

 

 

사인-고든 방정식

• 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우

\[E=1, F=\cos (\phi (x,t)),G=1\]

• 가우스 곡률 이 \(K=-1\)이 되도록 하는, 함수 \(\phi (x,t)\) 를 찾는 문제
• 함수 \(\phi (x,t)\) 가 사인-고든 방정식 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다

 

 

크리스토펠 기호

\(\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}\)

 

 

리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)

 

 

가우스 곡률

• \(K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}\)
  
• \(K=-1\) 이 되려면, \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 을 만족시키면 된다
  
• 미분방정식 \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 사인-고든 방정식 이 된다
  

 

 

 

예

• 의구 (Pseudosphere)

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

• http://www.math.uci.edu/~cterng/SGE.html
  
• 솔리톤 사인-고든 http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf
  
• Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” Letters in Mathematical Physics 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430.
• É. G. Poznyak and E. V. Shikin, Surfaces of negative curvature Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887
• http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2029/67.full.pdf

관련된 항목들

• 의구 (Pseudosphere)
• 사인-고든 방정식
• 리우빌 방정식

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjQ1MjNhOTctNjVkNS00ZTQ0LWFkNDYtZDliYjg4YTU5Mzdj/edit

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/

 

리뷰, 에세이, 강의노트

• Burstall, Francis. “Notes on Transformations in Integrable Geometry.” arXiv:1511.04216 [math], November 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04216.
• Robert McLachlan, A gallery of constant-negative-curvature surfaces The Mathematical Intelligencer, 1994, Volume 16, Number 4, Pages 31-37

 

관련도서

• C. ROGERS, Bäcklund and Darboux Transformations: Geometry and Modern Applications in Soliton Theory

관련논문

• Shimpei Kobayashi, A construction method for discrete constant negative Gaussian curvature surfaces, arXiv:1604.02772 [math.DG], April 11 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02772