"1차원 가우시안 적분"의 두 판 사이의 차이

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<h5>감마함수와의 관계</h5>
 
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* [[감마함수]]<br><math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br><math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math><br><math>x=\sqrt{t}</math>로 치환하면,<br><math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)</math><br> 를 얻는다. 따라서<br><math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math><br>
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* [[감마함수]]를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다다<br><math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br><math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math><br><math>x=\sqrt{t}</math>로 치환하면,<br><math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)</math><br> 를 얻는다. 따라서<br><math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math><br>
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*  더 일반적으로, 다음이 성립한다. <br><math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})</math><br>
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2010년 5월 22일 (토) 08:17 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

간단한 소개

\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\) 의 적분을 Gaussian integral 이라고 한다.

 

\(e^{-x^2}\) 의 부정적분은 초등함수로 표현할 수 없음이 알려져 있다. 이에 대해서는 부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 항목을 참조

하지만 우리는 부정적분을 알지 못해도 \((-\infty,\infty)\) 에서의 정적분을 계산할 수 있다.

 

 \(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA\)

\(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta=2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr=2\pi[-\frac{1}{2}e^{r^2}]_{0}^{\infty}=\pi\)

 

극좌표 치환이 사용되었다.

 

\(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2\)

 

\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\)

\(x=\frac{t}{\sqrt{2}}\) 로 치환하면,  \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\) 을 얻는다

 

 

감마함수와의 관계
  • 감마함수를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다다
    \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
    \(2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\)
    \(x=\sqrt{t}\)로 치환하면,
    \(2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\)
    를 얻는다. 따라서
    \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
  • 더 일반적으로, 다음이 성립한다. 
    \(\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})\)

 

 

역사

 

 

메모

함수 \(e^{-x^2}\) 는 정규분포함수에도 등장한다.

평균이 \(\mu\) 이고 분산이 \(\sigma^2\) 인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수는 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) 와 같이 쓸 수 있다.

계수에서 등장하는 \((2\pi)^{-\frac{1}{2}}\) 는, 확률밀도함수의 정규화(전사건의 확률이 1이 되도록 해 주는 것)를 위한 것이다. 즉, \(e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}\) 를 실수 전체에서 적분하면 \(\sqrt{2\pi}\sigma\) 가 된다.

 

관련된 항목들

 

 

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관련논문

 

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