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* 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다<br><math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math><br><math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math><br><math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)</math><br> | * 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다<br><math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math><br><math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math><br><math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)</math><br> | ||
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<h5>정의</h5> | <h5>정의</h5> | ||
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* <math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math> | * <math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math> | ||
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* 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math> | * 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math> | ||
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<h5>무한곱표현</h5> | <h5>무한곱표현</h5> | ||
| − | + | <math>\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math> | |
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%90%EB%A7%88%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%90%EB%A7%88%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수] | ||
2010년 3월 23일 (화) 15:14 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장한 함수
- 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다
\(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\) - \(s\)가 유리수일때의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제
정의
-
- \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
- \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
- 자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)
해석적확장
무한곱표현
\(\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)
적분표현
- Binet's second expression
\(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)
http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고
반사공식
- \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
- \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
- 일반적으로
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
(증명)
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
곱셈공식
- 이항
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
\(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\) - 일반화
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)
Digamma 함수
- 감마함수의 로그미분으로 정의
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
- 자세한 사실은 Digamma 함수 항목 참조.
오일러 베타적분
\(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)
- 오일러 베타적분 항목 참조
감마함수와 초월수
- 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
- 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\) - 미해결 문제. 다음은 초월수인가?
\(\Gamma(\frac{1}{5})\) - 무리수와 초월수 항목 참조
재미있는 사실
관련된 다른 주제들
사전자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/gamma_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function
- http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html
관련도서 및 추천도서
- The Gamma Function
- Emil Artin
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- Algebraic independence of the values of elliptic function at algebraic points
- G. Chudnovsky, Inventiones Mathematicae, Volume 61, Number 3 / 1980년 10월
- G. Chudnovsky, Inventiones Mathematicae, Volume 61, Number 3 / 1980년 10월
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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