"로저스-라마누잔 연분수"의 두 판 사이의 차이
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:<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots</math> | :<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots</math> | ||
여기서 <math>\varphi</math> 는 [[황금비]] | 여기서 <math>\varphi</math> 는 [[황금비]] | ||
| − | * 위의 식은 | + | * 위의 식은 모듈라군 <math>\Gamma(5)</math>에 대한 모듈라 함수 <math>r(\tau)</math>의 special value 로 이해할 수 있음 |
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===증명=== | ===증명=== | ||
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:<math>\frac{R(q^{n+1})}{R(q^n)}=\cfrac{1}{1+q^{n+1}\cfrac{R(q^{n+2})}{R(q^{n+1})}}</math>를 얻는다. | :<math>\frac{R(q^{n+1})}{R(q^n)}=\cfrac{1}{1+q^{n+1}\cfrac{R(q^{n+2})}{R(q^{n+1})}}</math>를 얻는다. | ||
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:<math>\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math> | :<math>\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math> | ||
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==로저스-라마누잔 모듈라 함수== | ==로저스-라마누잔 모듈라 함수== | ||
* 다음은 모듈라 함수이다 | * 다음은 모듈라 함수이다 | ||
:<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math> | :<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math> | ||
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:<math>r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}</math> | :<math>r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}</math> | ||
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:<math>r(\tau) = q^{1/5}(1 - q + q^2 - q^4 + q^5 - q^6 + q^7 - q^9 + 2q^{10} - 3q^{11}+\cdots</math> | :<math>r(\tau) = q^{1/5}(1 - q + q^2 - q^4 + q^5 - q^6 + q^7 - q^9 + 2q^{10} - 3q^{11}+\cdots</math> | ||
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==데데킨트 <math>\eta</math> 함수와의 관계== | ==데데킨트 <math>\eta</math> 함수와의 관계== | ||
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:<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}=0.28407904384\cdots</math> | :<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}=0.28407904384\cdots</math> | ||
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==j-invariant 와의 관계== | ==j-invariant 와의 관계== | ||
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:<math>(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0</math> | :<math>(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0</math> | ||
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:<math>j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math> | :<math>j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math> | ||
| − | 여기서, | + | 여기서, <math>j(\tau)</math> 는 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|j-invariant]] |
* [[정이십면체와 모듈라 연분수]] 항목 참조 | * [[정이십면체와 모듈라 연분수]] 항목 참조 | ||
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| − | * [http://books.google.com/books?id=ECnHLtiCiNsC&pg=PA9&lpg=PA9&dq=defeated+me+completely;+I+had+never+seen+anything&source=bl&ots=hID1ovbSq-&sig=ssoIWC-w9QB2iUE-SF8tbyiCxz8&hl=en&ei=UAqJStijIoSmsgOGouDpAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7#v=onepage&q=&f=false 라마누잔의 식을 | + | * [http://books.google.com/books?id=ECnHLtiCiNsC&pg=PA9&lpg=PA9&dq=defeated+me+completely;+I+had+never+seen+anything&source=bl&ots=hID1ovbSq-&sig=ssoIWC-w9QB2iUE-SF8tbyiCxz8&hl=en&ei=UAqJStijIoSmsgOGouDpAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7#v=onepage&q=&f=false 라마누잔의 식을 본 하디의 평가] |
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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* [[5차방정식과 정이십면체]] | * [[5차방정식과 정이십면체]] | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* Gaurav Bhatnagar, Michael D. Hirschhorn, A formula for the convergents of a continued fraction of Ramanujan, http://arxiv.org/abs/1603.07664v1 | * Gaurav Bhatnagar, Michael D. Hirschhorn, A formula for the convergents of a continued fraction of Ramanujan, http://arxiv.org/abs/1603.07664v1 | ||
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[[분류:q-급수]] | [[분류:q-급수]] | ||
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2020년 12월 28일 (월) 03:18 기준 최신판
개요
- 라마누잔이 하디에게 보낸 편지에는 다음과 같은 공식이 포함되어 있음
\[\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots\] 여기서 \(\varphi\) 는 황금비
- 위의 식은 모듈라군 \(\Gamma(5)\)에 대한 모듈라 함수 \(r(\tau)\)의 special value 로 이해할 수 있음
- 5차방정식과 정이십면체와 깊은 관계를 가짐
연분수의 유도
- \(R(z)\)를 다음과 같이 정의하자
\[R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}\]
- \(H(q)=R(q), G(q)=R(1)\)
정리
- 다음이 성립한다
\[R(z)=R(zq)+zqR(zq^2)\]
증명
\[R(zq)=\sum_{n\geq 0}\frac{(zq)^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}\] \[R(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{(zq^2)^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+2n}}{(1-q)_q^n}\] \[zqR(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^{n+1}q^{(n+1)^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2}}{(1-q)_q^{n-1}}\] \[ \begin{aligned} R(zq)+zqR(zq^2)&=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}+\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2+n}}{(1-q)_q^{n-1}}\\ &=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}+\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2}}{(1-q)_q^{n-1}} \\ &=1+ \sum_{n\geq 1}\frac{z^nq^{n^2+n}+z^nq^{n^2}(1-q^n)}{(1-q)_q^n} \\ & =1+\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n} = R(z) \end{aligned} \] ■
응용
- 이 정리로부터 \(R(q^n)=R(q^{n+1})+q^{n+1}R(q^{n+2})\)
- 즉
\[\frac{R(q^{n+1})}{R(q^n)}=\cfrac{1}{1+q^{n+1}\cfrac{R(q^{n+2})}{R(q^{n+1})}}\]를 얻는다. \[\frac{H(q)}{G(q)}=\cfrac{R(q)}{R(1)} = \cfrac{1}{1+q\cfrac{R(q^2)}{R(q)}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+q^2\cfrac{R(q^3)}{R(q^2)}}}=\cdots\]
이를 반복하면, 다음을 얻는다. \[\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\]
로저스-라마누잔 모듈라 함수
- 다음은 모듈라 함수이다
\[r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\] 여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\).
- \(\tau=i\) 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 위의 값을 얻을 수 있다.
\[r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}\]
- 모듈라 군(modular group) \(\Gamma(5)\)에 의해 불변이다\[r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\]
(정리)
\(r(\tau+1)=Sr(\tau)=\zeta_5r(\tau)\)
\(r(-\frac{1}{\tau})=Tr(\tau)\)
여기서 \(S=\begin{pmatrix} \zeta_{10} & 0 \\ 0 & \zeta_{10} \end{pmatrix} \), \(T={\begin{pmatrix} -1 & g \\ g & 1 \end{pmatrix}}\), \(g=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
푸리에급수
- 로저스-라마누잔 항등식으로부터 푸리에급수를 유도할 수 있다
\[r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} =q^{\frac{1}{5}}\frac {(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \] \[r(\tau) = q^{1/5}(1 - q + q^2 - q^4 + q^5 - q^6 + q^7 - q^9 + 2q^{10} - 3q^{11}+\cdots\]
데데킨트 \(\eta\) 함수와의 관계
- 데데킨트 에타함수 와는 다음과 같은 관계를 갖는다
\[\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1=\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\] \[\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1=\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}\]
- 에타함수의 모듈라 성질
\[\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)\] \[\eta(-\frac{1}{25\tau}) =\sqrt{\frac{25\tau}{i}}\eta(25\tau)\] \[\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}=5\]
- 양변을 곱하여 다음 식을 얻는다.
\[(\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1)(\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1)=5\]
- \(\tau=\frac{i}{5}\) 인 경우, 다음을 얻고 방정식을 풀 수 있음.
\[(\frac{1}{r(i)}-r(i)-1)^2=5\] \[r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}=0.28407904384\cdots\]
special values
- 위에서 다음을 얻었다
\[r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\]\[r(0)= \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots\]
- 또다른 값과 기하학적인 의미에 대해서는 정이십면체와 모듈라 연분수 항목 참조
j-invariant 와의 관계
(정리) \[(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0\]
또는 \[j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\]
여기서, \(j(\tau)\) 는 j-invariant
- 정이십면체와 모듈라 연분수 항목 참조
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Gaurav Bhatnagar, Michael D. Hirschhorn, A formula for the convergents of a continued fraction of Ramanujan, http://arxiv.org/abs/1603.07664v1
- Ciolan, Alexandru, and Robert Axel Neiss. “Convergence Properties of the Classical and Generalized Rogers-Ramanujan Continued Fraction.” arXiv:1504.06482 [math], April 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06482.