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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
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* 리만제타함수의 일반화
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*  준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br>
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* [[리만제타함수]], [[디리클레 베타함수]] 가 간단한 예<br>
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*  함수방정식 ([[디리클레 베타함수]]의 경우)<br><math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math><br><math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math><br>
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<h5>s=1에서의 값</h5>
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<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})</math>
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<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}</math>
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<math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math>
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[[가우스 합|가우스합]] 항목 참조
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<math>L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}</math>
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<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})</math>
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<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}</math>
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[[가우스 합|가우스합]] 항목 참조
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<math>L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}</math>
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7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 와  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
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<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 라 두면, <math>d_K=-p</math>이며  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 는  <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시킨다. 
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 <math>\chi(-1)=-1</math> 이므로 <math>\chi</math> 는 odd
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[[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]에 있는 결과로부터
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<math>L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}</math>
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를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터
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<math>L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}</math>
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[[가우스 합|가우스합]] 으로부터 <math>\tau (\chi)=i\sqrt p</math>
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이제 위의 두 값을 비교하면, <math>h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}</math>
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이로부터 소수 <math>p</math>에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
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<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math>
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<math>L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}</math>
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<math>L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}</math>
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<math>=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx</math>
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이제 <math>L'(1)</math> 의 값을 구하면 된다. 
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<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> 와 [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] 의 에르미트 표현 <math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>  을 사용하면,
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<math>L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>
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<math>L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}</math>
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<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math>
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가 만족시키는 함수방정식
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<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>
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을 사용하자.
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<math>L(0)=\frac{1}{2}</math> 을 쉽게 얻을 수 있다.
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한편 [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]] 의 값 <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math> 를 활용하여,
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<math>L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>
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를 얻는다. 
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따라서
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<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}</math>
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* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]] 항목 참조
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<h5>재미있는 사실</h5>
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5>역사</h5>
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5>메모</h5>
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<h5>관련된 항목들</h5>
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* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_L-function
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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<h5>관련논문</h5>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://dx.doi.org/
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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<h5>관련기사</h5>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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<h5>블로그</h5>
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]

2009년 11월 4일 (수) 17:25 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개
  • 리만제타함수의 일반화
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
    \(L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\)
  • 리만제타함수, 디리클레 베타함수 가 간단한 예
  • 함수방정식 (디리클레 베타함수의 경우)
    \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\)
    \(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)

 

 

s=1에서의 값

\(L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})\)

\(\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}\)

\(\tau(\chi)=\tau_1(\chi)\)

가우스합 항목 참조

 

\(L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}\)

 

s=1에서의 값

\(L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})\)

\(\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}\)

\(\tau(\chi)=\tau_1(\chi)\)

가우스합 항목 참조

 

\(L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}\)

 

 

 

이차잉여에의 응용

7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 와  \(\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)\) 를 정의하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 라 두면, \(d_K=-p\)이며  \(\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)\) 는  \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시킨다. 

 

 \(\chi(-1)=-1\) 이므로 \(\chi\) 는 odd

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리에 있는 결과로부터

\(L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}\)

를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터

\(L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}\)

가우스합 으로부터 \(\tau (\chi)=i\sqrt p\)

이제 위의 두 값을 비교하면, \(h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}\)

이로부터 소수 \(p\)에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.

 

 

 

정적분

\(f\)가 \(f(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, \(p(z)=z-z^3\)

\(L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}\)

\(L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}\)

\(=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx\)

 

이제 \(L'(1)\) 의 값을 구하면 된다. 

\(L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\) 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)  을 사용하면,

\(L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\)

\(L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\)

 

\(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\)

가 만족시키는 함수방정식

\(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)

을 사용하자.

\(L(0)=\frac{1}{2}\) 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 Digamma 함수 의 값 \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\) 를 활용하여,

\(L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\)

를 얻는다. 

 

따라서

\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\)

 

재미있는 사실

 

 

 

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