모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

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• 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

 

 

개요

• 타원적분의 singular value k
  
  • 자연수 \(n \) 에 대하여, 다음을 만족시키는 \(k\)를 singular value 라 한다
    \(\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \)
    
• 타원 모듈라 λ-함수
  \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
  
  
• 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량에 그 자리를 내줌
• explicit class field theory 에서 중요한 역할을 한다

 

 

singular moduli와 관련된 함수들

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)

• j-invariant
  \(J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}\)
  \(j(\tau)=1728J(\tau)\)
  \( j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\)
  
• 베버(Weber) 모듈라 함수
• 라마누잔의 class invariants

 

 

타원적분과 singular moduli

• 일종타원적분 K
  \(\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\)
  \(\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\)
  \(\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\)
  \(\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}}\right)= \sqrt{4}\)
  
• singular values
  \(k(i)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
  \(k(\sqrt{2}i)=\sqrt{2}-1\)
  \(k(\sqrt{3}i)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
  \(k(2i)=3-2\sqrt{2}\)
  

• singular moduli
  \(\lambda(i)=k^2(i)=\frac{1}{2}\)
  

 

 

\(s=1\)일때의 singular moduli 모음

• \(s=1\)에서의 디리클레 L-함수의 도함수 값
  \(L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\)
  Chowla-셀베르그 공식 항목 참조
  
• 적분쇼
  \(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'_{-4}(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln({\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})\)
  
• 타원적분의 singular value k
  \(k(\sqrt{-1})=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
  
• 타원 모듈라 λ-함수
  \(\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\)
  
• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식
  \(r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\)
  
• 베버(Weber) 모듈라 함수
  \(\mathfrak{f}(i)^8=4\)
  \(\mathfrak{f}_1(i)^8=2\)
  \(\mathfrak{f}_2(i)^8=2\)
  
• 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)
  \( j(\sqrt{-1})=1728=12^3\)
  
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
  \(K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)
  
• 자코비 세타함수
  \(\theta_3(\sqrt{-1})=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}}\)
  
• 데데킨트 에타함수
  \(\eta(\sqrt{-1})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)
  

 

 

하위페이지

• 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
  
  • j-invariant
    
  • 데데킨트 에타함수
    
  • 모듈라 군(modular group)
    
  • 모듈라 형식(modular forms)
    
    • 격자의 세타함수
      
    • 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
      
    • 판별식 (discriminant) 함수
      
  • 베버(Weber) 모듈라 함수
    
  • 숫자 163
    
  • 자코비 세타함수
    

 

 

 

관련된 항목들

• 타원적분, 타원함수, 타원곡선
• AGM과 파이값의 계산
• 국제 수학자 대회

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • [1]http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=kor_term&fstr=모듈라
    
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=modular
    
  • [2]http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
    

• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

관련도서

• Discontinuous Groups and Automorphic Functions
  
  • Joseph Lehner

 

 

관련논문

• Modular Miracles
  
  • John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 1 (Jan., 2001), pp. 70-76
• Rationals and the Modular Group
  
  • Roger C. Alperin, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 8 (Oct., 1999), pp. 771-773
• Modular functions and transcendence questions
  
  • Yu V Nesterenko 1996 Sb. Math. 187 1319-1348
• On singular moduli.
  
  • Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355, 191-220

 

 

관련링크와 웹페이지

• Fundamental Domain drawer
  
  • Java applet, H. A. Verrill
• The Action of the Modular Group on the Fundamental Domain
  
  • Wolfram