베르누이 수
간단한 소개
- 베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열[[2040024|]]
베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
\(\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\)
처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)
{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}
베르누이 수의 성질
- \(B_m=\frac{N_m}{D_m}\) (여기서 \(N_m, D_m\)은 서로소) 으로 쓰면 \(D_m\)은 \(p-1|m\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어짐
- \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
- \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
- \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)
삼각함수의 급수 표현
- 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
- 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)
쌍곡함수의 급수표현
\(\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\)
\(\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi\)
베르누이 다항식
베르누이 수보다 좀 더 일반적으로, 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.
\(\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\)
좀더 자세히 쓰면
\(B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\)
여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수
처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.
\(B_0(x)=1\)
\(B_1(x)=x-1/2\)
\(B_2(x)=x^2-x+1/6\)
\(B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\)
베르누이 다항식 \(B_k (x) \) 는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)
\(\frac{d }{dt}B_k (x) = B_{k-1} (x)\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
위키링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
참고할만한 자료
- Stirling's Series and Bernoulli Numbers
- Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
- A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers
- Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138