3차원 유한회전군의 분류

binary polyhedral groups
binary Tetrahedral groups
- \(\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}\)
- group of order 24

\(\Gamma\) 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.

각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.

각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 \(v_p\geq 2\)인 순환군이 된다.

\(\Gamma\)에 의한 p의 궤도의 집합을 \(C_p\)라 하면, \(|C_p|=\frac{n}{v_p}\)가 된다.

이제 집합 \(S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}\) 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.

1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, \(|S|=2(n-1)\)

2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 \(v_p-1\) 이므로, \(|S|=\sum_{p}(v_p-1)\)

극점들을 움직이는 \(\Gamma\)에 의한 궤도 \(C\)의 크기를 \(n_{C}\)라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)\)

여기서 \(v_C\)는 궤도 \(C\)의 원소 \(p\)에 대하여 \(v_p\)를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.

위 식의 양변을 \(n\)으로 나누면, 다음을 얻는다.

\(2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})\)

\(n\geq 2\) 이고, \(1\leq 2-\frac{2}{n}< 2\), \(\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1\) 이므로, 총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.

궤도가 2개인 경우

\(\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2\)

따라서 \(n_1=n_2=1\) 을 얻고, 이 경우 \(\Gamma\)는 크기가 n인 순환군이다.

궤도가 3개인 경우

\(1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}\)

\((v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{2}{n}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)\) 를 얻는다.

각각의 경우

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