다이로그 함수(dilogarithm)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 10월 18일 (목) 12:28 판
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개요

  • 폴리로그 함수(poylogarithm)의 하나인 special 함수이다.
  • 오일러, 로바체프스키, 아벨 등에 의하여 연구되었다.
  • 정수론, 대수적 K-이론, 3차원 쌍곡다양체, 등각장론 등 현대수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 한다.
  • Pochhammer 기호 \((q)_{n} =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)\) 의 근사식을 구하는 과정에서 자연스럽게 등장한다.
  • 모든 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다



정의

  • 다이로그 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
    \(\operatorname{Li}_ 2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
    \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • 다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능
    \(\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)



함수의 그래프

[1]




단위원에서의 실수부와 허수부

  • \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일 때,
    \(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
    \(\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}\)
    \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_ 2(\theta)\)
  • 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조



여러가지 항등식

  • 오일러의 반사공식

\(\mbox{Li}_ 2 \left(x \right)+\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)= \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)\), \(0<x<1\)

  • 반전공식
    \(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(-x)\)
  • 란덴의 항등식

\(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(1-x)\) 또는

\(\mbox{Li}_ 2(1-x)+\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(x)\)

  • 여기에서 다음의 함수들은 초등함수 부분을 무시하면 같다는 것을 알 수 있음
    \(\mbox{Li}_ 2(x)\),\(\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\), \(\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)
  • 사영기하학과 교차비, Bloch-Wigner dilogarithm 항목들을 참조



곱셈공식

  • 제곱공식
    \(\mbox{Li}_ 2(x^2)=2(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(-x))\)
    \(\frac{1}{2}\mbox{Li}_ 2(x^2)=\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(-x)\)
  • 일반적인 곱셈공식
    \(\frac{1}{n} \operatorname{Li}_ 2(z^n) = \sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_ 2\left(e^{2\pi i k/n}z \right)\)
  • 실수부와 허수부에 대한 덧셈공식
    \(f(\theta)=\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}\)
    \(Cl_ 2(\theta)=\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_ 2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
    다음 덧셈공식을 만족시킴
    \(f(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}f(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)
    \(Cl_ 2(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}Cl_ 2(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)



5항 관계식 (5-term relation)

  • 5항 관계식은 다이로그 함수의 가장 중요한 항등식의 하나이다.
    \(\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\)
  • [[search?q=5% ED %95 % AD %20 % EA % B4 %80 % EA % B3 %84 % EC %8 B %9 D %20 %285-term %20 relation %29 %20&parent id=3321277|5항 관계식 (5-term relation)]] 항목 참조



Special values

  • 다음 여덟 경우만이 알려져 있으며, 이것이 모든 가능한 경우라고 추측된다

\(\mbox{Li}_{2}(0)=0\)

\(\mbox{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\mbox{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\log^2(2)\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)



다이로그 항등식

  • 다이로그 함수를 약간 변형한 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm)
    \(L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy\)
  • 대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 다이로그 항등식이라 한다
    \(\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\)
  • 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
  • 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 항목 참조



Pochhammer 기호와의 관계

  • Pochhammer 기호
    \((q)_{n} : =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)\)
  • 로그를 취한뒤 적분을 통해 근사하면 다음을 얻는다
    \(\int_{0}^{n}\log (1-q^{t})\,dt=\frac{1}{\log q}\int_{1}^{q^{n}}\log (1-x)\,\frac{dx}{x}=\frac{1}{\log q}(\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(q^{n}))\)



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재미있는 사실
  • Don Zagier

The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.

 

 

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

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사전 형태의 자료

 

 

관련도서
  • Frontiers in number theory, physics, and geometry II
    • Cartier P., Julia B., Moussa P., Vanhove P.
  • Structural properties of polylogarithms
    • Leonard Lewin
  • Polylogarithms and associated functions
    • Leonard Lewin

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

관련논문[2][3]
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