드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형
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==개요
(정리) 드 무아브르
\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)
여기서 \(\theta\) 는 임의의 실수, \(n\) 은 임의의 정수
==증명
- 수학적 귀납법
==오일러의 정리를 통한 증명
- 오일러의 공식
- 복소지수함수 \(e^{i\theta}=\cos \theta+ i\sin \theta\) 의 성질에서 자연스럽게 유도
\((\cos \theta+ i\sin \theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}= \cos n\theta+ i\sin n\theta\)
==정다각형과의 관계
- \(z^n=1\) 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.
방정식을 풀기 위해, \(z=\cos \theta + i \sin \theta\) 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.
\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1\)
\(\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1\)
- \(z^3=1\) 의 해는, \(1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.
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==많이 나오는 질문
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==사전형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/복소수
- http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre
- http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula
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