디리클레 L-함수

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디리클레 L-함수

간단한 소개

리만제타함수의 일반화
준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$ 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
$L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1$
리만제타함수, 디리클레 베타함수 가 간단한 예

함수방정식 (디리클레 베타함수의 경우)
$\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)$
$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$

s=1에서의 값

$L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{a=1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})$

$\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}$

$\tau(\chi)=\tau_1(\chi)$

가우스합 항목 참조

$L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}$

이차잉여에의 응용

7이상의 소수 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 와 $\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)$ 를 정의하자.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 라 두면, $d_K=-p$이며 $\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)$ 는 $d_K$를 나누지 않는 소수 $p$에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시킨다.

$\chi(-1)=-1$ 이므로 $\chi$ 는 odd

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리에 있는 결과로부터

$L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}$

를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터

$L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}$

가우스합 으로부터 $\tau (\chi)=i\sqrt p$

이제 위의 두 값을 비교하면, $h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}$

이로부터 소수 $p$에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.

L'(1)의 값과 정적분

$f$가 $f(3)=-1$인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, $p(z)=z-z^3$

$L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}$

$L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}$

$=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx$

이제 $L'(1)$ 의 값을 구하면 된다.

$L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}$ 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 $\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}$ 을 사용하면,

$L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}$

$L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$

$\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)$

가 만족시키는 함수방정식

$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$

을 사용하자.

$L(0)=\frac{1}{2}$ 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 Digamma 함수 의 값 $\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma$에서 $\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)$ 를 활용하여,

$L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})$

를 얻는다.

따라서

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}$

적분쇼 항목 참조

재미있는 사실

네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

디리클레 L-함수

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

간단한 소개

s=1에서의 값

이차잉여에의 응용

L'(1)의 값과 정적분

재미있는 사실

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