클리포드 대수와 스피너

개요

• 해밀턴의 사원수(quarternions)의 일반화
• 직교군의 스핀 표현 (spin representation) 을 구성하기 위한 도구

클리포드 대수

• 이차형식이 주어진 벡터공간 \((V,Q)\)
• Q : non-degenerate quadratic form 으로부터 symmetric bilinear form \(\langle x,y \rangle\) 을 얻는다
• 클리포드 대수: V의 원소들로 생성되는 결합대수(associative algebra)로 다음 관계를 만족시킨다
  
  • \(v^2=Q(v)\)
  • \(vw+wv=2\langle w,v\rangle\)
• 외대수(exterior algebra,그라스만 대수)의 양자화로 이해하기도 한다

스피너

• 클리포드 대수의 벡터공간 \(W\) 에서의 표현(representation)을 생각하자
• W의 원소를 스피너라 부른다

파울리 스피너

• 실수체 위에 정의된 8차원 클리포드 대수
• 파울리 행렬 로부터 구성할 수 있다
• 3차원 유클리드 공간 \(E_{3}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{3})\)와 동형이다
• SO(3)의 사영표현을 얻을 수 있다

디랙 스피너

• 16차원 실대수
• 4차원 민코프스키 공간 \(E_{3,1}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{3,1})\) 와 동형
• \(\gamma_{\mu}^2=\epsilon_{\mu}\), \(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}=0\), \(\epsilon_{0}=1, \epsilon_{i}=-1\)
• 4차원 표현이 존재한다
• 로렌츠 군의 사영표현을 얻을 수 있다
• 로렌츠 군의 universal covering \(H=SL(2,\mathbb{C})\) 의 표현
• 디랙 행렬

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 디랙 방정식
• 스핀과 파울리의 배타원리
• 하이젠베르크 군과 대수

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
• http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra
• http://en.wikipedia.org/wiki/Spinors_in_three_dimensions
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Peter Woit의 강의 노트
  • Clifford Algebras
  • Spin Groups
  • The Spinor Representation
• Lachièze-Rey, Marc. 2009. “Spin and Clifford Algebras, an Introduction”. Advances in Applied Clifford Algebras 19 (3-4): 687-720. doi:10.1007/s00006-009-0187-y.
• http://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/ch5.pdf
• Frescura, F. A. M. 1981. “Geometric interpretation of the Pauli spinor”. American Journal of Physics 49: 152. doi:10.1119/1.12548.
• Vivarelli, Maria Dina. 1984. “Development of spinor descriptions of rotational mechanics from Euler’s rigid body displacement theorem”. Celestial Mechanics 32 (3월): 193-207. doi:10.1007/BF01236599.
• Coquereaux, Robert. 2005. “Clifford algebras, spinors and fundamental interactions : Twenty Years After”. arXiv:math-ph/0509040 (9월 19). http://arxiv.org/abs/math-ph/0509040.