거듭제곱의 합을 구하는 공식

개요

1부터 n까지의 r차 거듭제곱의 합을 구하는 공식.
베르누이 수 $B_n$와 이항계수를 사용하여 표현가능함

$$ \sum_{k=1}^{n}k^r= \begin{cases} n, & \text{if $r=0$} \\ \frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if $r\ge 1$} \\ \end{cases} $$

간단한 예

$\Sigma_{k=1}^{n} k^r=1^r+2^r+\cdots + n^r$ 의 테이블

\begin{array}{c|c|c} r & \ \text{factored} & \text{expanded} \\ \hline 0 & n & n \\ 1 & \frac{1}{2} n (n+1) & \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \\ 2 & \frac{1}{6} n (n+1) (2 n+1) & \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \\ 3 & \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 & \frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4} \\ 4 & \frac{1}{30} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^2+3 n-1\right) & \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \\ 5 & \frac{1}{12} n^2 (n+1)^2 \left(2 n^2+2 n-1\right) & \frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5 n^4}{12}-\frac{n^2}{12} \\ 6 & \frac{1}{42} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^4+6 n^3-3 n+1\right) & \frac{n^7}{7}+\frac{n^6}{2}+\frac{n^5}{2}-\frac{n^3}{6}+\frac{n}{42} \\ 7 & \frac{1}{24} n^2 (n+1)^2 \left(3 n^4+6 n^3-n^2-4 n+2\right) & \frac{n^8}{8}+\frac{n^7}{2}+\frac{7 n^6}{12}-\frac{7 n^4}{24}+\frac{n^2}{12} \\ 8 & \frac{1}{90} n \left(10 n^8+45 n^7+60 n^6-42 n^4+20 n^2-3\right) & \frac{n^9}{9}+\frac{n^8}{2}+\frac{2 n^7}{3}-\frac{7 n^5}{15}+\frac{2 n^3}{9}-\frac{n}{30} \\ 9 & \frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3\right) & \frac{n^{10}}{10}+\frac{n^9}{2}+\frac{3 n^8}{4}-\frac{7 n^6}{10}+\frac{n^4}{2}-\frac{3 n^2}{20} \\ \end{array}

베르누이 수

베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]
처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.\[B_0=1\], $B_1=-{1 \over 2}$, $B_2={1\over 6}$, $B_3=0$, $B_4=-\frac{1}{30}$, $B_5=0$, $B_6=\frac{1}{42}$, $B_8=-\frac{1}{30}$, $B_{10}=\frac{5}{66}$, $B_{12}=-\frac{691}{2730}$,$B_{14}=\frac{7}{6}$

베르누이 다항식

베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다

\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

베르누이 수 $B_k$와 이항계수를 이용하여 표현하면 다음과 같다

\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\]

계차수열

베르누이 다항식에 대하여 다음이 성립한다

\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\label{diff}\]

\begin{array}{c|cc} {} & B_n(x) & \left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x) \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3 \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5 \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7 \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8 \\ \end{array}