초등정수론

개요

• 정수와 관련된 기본적인 개념들을 공부함.
• 합동식에 대한 여러 정리와 이차잉여의 상호법칙을 공부함.

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 필수적인 것은 없음.
• 약수와 배수
• 추상대수학의 몇가지 개념은 알고 있으면 유용함
  • 순환군
  • 유한생성 아벨군의 기본정리
  • 유한체 (finite field)

다루는 대상

• 정수, 자연수, 소수
• 수론적 함수(산술함수, arithmetic function)
• 합동식 (모듈로 modulo 연산)
• 디오판투스 방정식

중요한 개념 및 정리

• 수론적 함수(산술함수, arithmetic function)
• 합동식 (모듈로 modulo 연산)
• 합동식과 군론
• 오일러-페르마 정리
• 원시근(Primitive root)
• 이차잉여의 상호법칙
• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
  • 아래 관련논문에 세르(J.P. Serre)의 \(\Delta=b^2-4ac\)를 참조.
• 연분수
• 펠 방정식(Pell's equation)

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 유리수의 십진전개 (decimal fractions)
• 황금비와 연분수
• 오일러의 소수생성다항식\(x^2+x+41\)
• 짝수완전수와 메르센느 소수

다른 과목과의 관련성

• 추상대수학
  • 군론과 유한체의 개념을 바탕으로 이해하는 것이 좋음.
  • 초등정수론에서 자연스럽게 등장하는 군
    • the additive group of integers modulo m
    • the multiplicative group of integers relatively prime to m, modulo m
    • the group of equivalence classes of binary quadratic forms
    • the group of n-th roots of unity
• 암호론(Crytography)
• 해석적정수론

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 초등정수론 다음은 대략 두 갈래의 길로 나뉘게 되는데, 하나는 정수계수 이차형식을 공부하는 것이고, 다른 하나는 대수적수론을 공부하는 것임.
• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)의 이론은 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론의 같지만 다른 모습.
• 고차원의 정수계수 이차형식을 공부하기 전에 정수계수 2변수 이차형식을 공부.
• 대수적수론을 공부하기 전에, 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론을 공부하면, 대수적수론의 중요한 다양한 개념을 비교적 용이하게 배울 수 있음.
• 이차형식
• p진해석학(p-adic analysis)
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
• 타원곡선
• 페르마의 마지막 정리
• 대수적수론
• 해석적정수론
• Class field theory

추천도서 및 보조교재

• Winfried Scharlau, Hans Opolka From Fermat to Minkowski: Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development
• Daniel E. Flath Introduction to Number Theory

관련논문과 에세이

• A Short Proof That Every Prime $p \equiv 3 (\mathrm{mod} 8)$ Is of the Form x2 + 2y2
  • Terence Jackson, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 5 (May, 2000), p. 447
• The Fundamental Theorem of Arithmetic Dissected
  • Ahmet G. Agargün and Colin R. Fletcher, The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 53-57
• The Unique Factorization Theorem: From Euclid to Gauss
  • Mary Joan Collison, Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 2 (Mar., 1980), pp. 96-100
• J.P. Serre \(\Delta=b^2-4ac\), Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
  • 파일:1943100-serre on class number.pdf
• Online number theory lecture notes
• Descriptions of areas/courses in number theory