2차원 이징 모형 (사각 격자)

개요

통계물리에서 중요하게 취급되는 자성체의 모형
격자의 각 점에 놓인 스핀들이 가장 가까운 거리에 있는 경우에만 상호작용을 하는 것을 가정
2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며, 정확히 풀리는 모형의 대표적인 예

정의

$M\times N$ 크기 2차원 사각격자 $L$
스핀의 배열 $\sigma$은 함수 $\sigma : L\to \pm 1 $를 의미
각 $\sigma$에 대한 에너지, 즉 해밀토니안은 다음과 같다

$$ H(\sigma)=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (J_1s_{m,n}s_{m+1,n}+J_2s_{m,n}s_{m,n+1}) $$ 여기서 $s_{m,n}$은 $(m,n)\in L$에서의 $\sigma$의 값

분배함수

분배함수 $Z(\beta)$는 모든 가능한 스핀 배열 $\sigma=\{s\}$에 대하여 $\exp\left(-\beta H(\{s\})\right)$를 더한 값으로 정의, 즉

$$ \begin{align} Z_(\beta) & =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \\ &=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N\prod_{m=1}^M \exp (K_1s_{m,n}s_{m+1,n}+K_2s_{m,n}s_{m,n+1}) \label{Zustandssumme} \end{align} $$ 여기서 $\beta=1/(kT)$, $T$는 온도, $k$ 볼츠만 상수

$J_1,J_2>0$이면, 이는 강자성체의 모형이 된다
통계물리에서 모형을 이해하기 위해 중요한 과제는 \ref{Zustandssumme}를 구하는 것

전달행렬

한 층에 해당하는 스핀 $S_n=\{s_{1,n},\cdots, s_{M,n}\}$을 도입하면, \ref{Zustandssumme}는 다음과 같이 쓰여진다

$$ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N \exp (\sum_{m=1}^M K_1s_{m,n}s_{m+1,n}) \exp (\sum_{m=1}^M K_2s_{m,n}s_{m,n+1})\\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}(V_2)_{S_NS_1} \\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}^{1/2}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}^{1/2}(V_2)_{S_NS_1}(V_1)_{S_1}^{1/2} \end{aligned} \label{Zustandssumme2} $$ 여기서 $$ \begin{aligned} (V_1)_{S_{n}}&=\exp(K_1\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m+1,n}) \\ (V_2)_{S_nS_{n+1}}&=\exp(K_2\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m,n+1}) \end{aligned}\label{entry} $$

1차원 이징 모형(Ising model)에서와 유사하게, $(\mathbb{C}^2)^{\otimes N}$에 작용하는 연산자 $V_1,V_2$를 다음과 같이 정의하자

$$ V_1=\exp (K_1 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z) $$ $$ V_2 =(2\sinh 2K_2)^{M/2}\exp (K_2^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x) $$ 여기서 $\tanh K_2^*=e^{-2K_2}$이고 $\sigma^x, \sigma^z$를 파울리 행렬이라 하면, $m=1,\cdots, M$에 대하여 \[\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,\] \[\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1\]

표준적인 $(\mathbb{C}^2)^{\otimes N}$의 기저 $\{S_{1},\cdots, S_{2^M}\}$를 이용하여, $V_1$와 $V_2$를 $2^M\times 2^M$ 행렬로 이해할 수 있고, 이 때 행렬의 성분은 \ref{entry}로 주어지게 된다
\ref{Zustandssumme2}는 이제 다음과 같이 쓸 수 있다

$$ Z= \operatorname{Tr} (V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2})^N=\operatorname{Tr} T^N $$ 여기서 $T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}$

$T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}$를 전달행렬 (transfer matrix)이라 부르며, 분배함수 $Z$를 구하는 문제는 이제 $T$를 대각화하는 문제로 이해할 수 있다

unitary transformation

다음의 변환을 적용

$$ \sigma^x\mapsto -\sigma^z \\ \sigma^z\mapsto -\sigma^x $$

$UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^{M-1}(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})-K_1(c_M^\dagger-c_M)(c_{1}^\dagger+c_{1})\prod_{m=1}^M (1-2c_{m}^\dagger c_{m})\right]$
$c_{m}^\dagger c_{m}$은 number operator
$c_{M+1}^\dagger=(-1)^{N_F-1}c_{1}^\dagger$, $c_{M+1}=(-1)^{N_F-1}c_{1}$
$UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^M(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})\right]$

전달행렬의 대각화

요르단-위그너 변환(Jordan-Wigner transformation)

메모

$L \times L$ 정사각 격자, $N=L^2$의 경우
해밀토니안이 다음과 같이 주어진 경우

$$ H(\sigma)= -J \sum_{ \left\langle \, {i,j}\, \right\rangle} \sigma_i \sigma_j $$

자유에너지는

$$ F= - kT \ln Z_N $$

열역학적 극한에서 스핀당 자유에너지

$$ f= - k T \ln \lambda $$ 여기서 $\lambda= \lim_{N\to \infty } Z_N^{1/N}$

정리 (온새거, 1944)

$$ \begin{aligned} \ln \lambda & = \ln{2 \cosh(2K)}+ {1\over 2\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi\ln (1-4\kappa \cos \omega_1 \cos \omega_2)\, d\,\omega_1 d\,\omega_2 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}+ \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi } \log \left( \frac{1+\sqrt{1-16 k^2 \cos ^2(\omega_1)}}{2}\right) \, d\,\omega_1 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}-\sum _{n=1}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{\kappa^{2 n}}{4 n} \end{aligned} $$ 여기서 $K=\frac{J}{2kT}$, $2\kappa = \tanh(2K) \operatorname{sech}(2K)$

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Square-lattice_Ising_model

리뷰, 에세이, 강의노트

Suzuki, Sei, Jun-ichi Inoue, and Bikas K. Chakrabarti. “Transverse Ising Chain (Pure System).” In Quantum Ising Phases and Transitions in Transverse Ising Models, 13–46. Lecture Notes in Physics 862. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-33039-1_2.
http://people.ccmr.cornell.edu/%7Eginsparg/Phys446-546/ising2d.pdf
http://www.colorado.edu/physics/phys7240/phys7240_fa12/notes/Week3.pdf
The Ising model