감마함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 9월 5일 (토) 17:43 판
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정의
  • \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
  • \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)

팩토리얼 함수의 정의역을 수 전체로 일반화한 것.

 

 

 

 

적분표현

(Binet's second expression)

\(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)

(http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고)

 

반사공식
  • \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
  • \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
  • 일반적으로 
    \(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
    (증명)

\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)

 

 

곱셈공식
  • \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
  • \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!\)

 

 

Digamma  함수
  • 감마함수의 로그미분으로 정의

\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

 

삼각함수의 적분과 감마함수

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2})}{2\Gamma(n+1)}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\)

 

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