드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 5월 8일 (금) 06:12 판
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간단한 소개

(정리) 드 무아브르

\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)

여기서 \(\theta\) 는 임의의 실수, \(n\) 은 임의의 정수

 

 

증명
  • 수학적 귀납법

 

 

오일러의 정리를 통한 증명
  • [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]]
  • 복소지수함수

\(e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)

 

 

 

 

정다각형과의 관계
  • \(z^n=1\) 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.
    방정식을 풀기 위해, \(z=\cos \theta + i \sin \theta\) 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.
    \((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1\)
    \(\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1\)
     
  • \(z^3=1\) 의 해는, \(1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.
    [/pages/3002568/attachments/1344206 img602.gif]

 

 

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