맴돌이군과 미분방정식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 23일 (토) 19:53 판
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개요

 

 

 

복소로그함수

복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의된다

\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다.

예를 들자면, \(z=1=re^{i\cdot 0}\)에 대해서는

\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)

\(\log(1)\)의 값이 무한대로 많은 것이다.

 

그런데 중고등학교에서 '함수'의 개념을 가르칠때, 가장 강조되는 것은 함수는 각 정의역의 원소에 대하여, 공역의 원소가 하나씩 대응되는 것이다. 그러니 이대로는 복소로그함수는 함수가 아니다!

학부의 복소함수론에서는 이러한 상황을 타개하기 위하여 복소평면에서 원점에서 시작되는 반직선을 뺀 영역에서 복소로그함수를 정의하며 그 공역, 즉 함수값이 가질 수 있는 영역을 제한하는 것이 보통이다.

 

 

잘 들여다보면, 이것은 원위의 점에 정의되는 각도함수를 정의하는 것이 불가능한 이유와 같음을 알 수 있다. 각도함수라는 것을 정의할 수 있는 곳은 원이 아니라, 원 위에 놓여 나선처럼 놓인 직선이었다.

[1]

 

이 상황을 정리하기 위해서는 이와 같은 발상의 전환이 필요하다. '정의역'을 바꾸어야 한다. 로그함수는 원점을 제외한 복소평면에서 정의되는 함수가 아니다.

복소로그함수 \(\log(z)\)는 복소평면에 있는 복소수 z에 대하여 정의된 함수가 아니라, 다음과 같이 생긴 곡면에 정의된 함수로 보아야 한다.

단순히 복소수 z라고 하는 것은 이 곡면의 한 점을 정의하기에 충분하지 않다.

위의 원과 그 위에 놓인 나선(결국은 직선) 의 관계처럼, 원점을 뺀 복소평면을 나선처럼 감고 올라가는 곡면을 정의역으로 상상

 

  • 복소로그함수가 정의된 리만곡면
    [[Media:|]]

 

 

 

오일러 미분방정식

\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0\)

 

\(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 경우,

\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0\)

\(\{1,\log x\}\)는 기저가 된다

해는 \(y=c_1+c_2\log x\)

1은 해석함수이므로, 해석적확장에 의해 변하지 않는다.  \(1 =1 \cdot 1+0 \cdot \log x\)

원점 주위를 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(\log x\)를 해석적으로 확장하여 제자리로 돌아오는 경우 \(\log x+2\pi i=2\pi i\cdot 1+1 \cdot \log x\) 를 얻는다.

따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 행렬 

\(\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

에 대응된다.

일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 준동형사상 \(\pi_1(\mathbb{C}-\{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\) 를 미분방정식에 대한 \(\pi_1\)의 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다.

미분방정식 \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0\)의 맴돌이군은 따라서 \(\mathbb{Z}\)와 같다.

 

 

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