미적분학의 기본정리
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 적분과 미분의 관계
- 미적분학의 기본정리는 다변수 미적분학에서 선적분의 기본정리, 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등으로 확장
- 미분형식에 대한 스토크스 정리로 확장됨
미적분학의 기본정리==
\(F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)\) 이면 \(\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)\)
선적분의 기본정리==
- 1-form 과 0-form
\(\int_{C}\nabla\phi\cdot d\mathbf{r}=\phi(P_1)-\phi(P_0)\)
or
\(\int_{C}\frac{d\phi}{dx}dx+\frac{d\phi}{dy}dy=\phi(P_1)-\phi(P_0)\)
여기서 \(C\)는 \(P_0\)를 시작점, \(P_1\)을 끝점으로 갖는 곡선
곡면에 대한 스토크스의 정리==
- 2-form 과 1-form
\(\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}\)
그린 정리==
- 스토크스 정리의 특수한 경우
\(\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)\)
- 그린 정리
가우스의 발산 정리==
- 3-form과 2-form
\(\iiint_V\ \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,{d}S \)
여기서
\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z }\)
- 발산 정리(divergence theorem)
가장 일반적인 형태의 스토크스 정리==
- 미분형식 (differential forms) 에 대한 스토크스 정리
\(\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\)
[1]
역사==
메모
- https://www.cds.caltech.edu/help/uploads/wiki/files/177/Diff_Forms_pauses.pdf
- http://pages.uoregon.edu/gilkey/dirCourse/NotesGreenGaussStokes-v3c.pdf
상위 주제==
하위페이지
관련된 항목들==
관련도서 및 추천도서==
수학용어번역==
사전형태의 참고자료==
관련논문
- The History of Stokes' Theorem
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156
- 적분과 미분의 관계
- 미적분학의 기본정리는 다변수 미적분학에서 선적분의 기본정리, 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등으로 확장
- 미분형식에 대한 스토크스 정리로 확장됨
- 1-form 과 0-form
\(\int_{C}\nabla\phi\cdot d\mathbf{r}=\phi(P_1)-\phi(P_0)\)
or
\(\int_{C}\frac{d\phi}{dx}dx+\frac{d\phi}{dy}dy=\phi(P_1)-\phi(P_0)\)
여기서 \(C\)는 \(P_0\)를 시작점, \(P_1\)을 끝점으로 갖는 곡선
- 2-form 과 1-form
\(\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}\)
- 스토크스 정리의 특수한 경우
\(\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)\) - 그린 정리
- 3-form과 2-form
\(\iiint_V\ \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,{d}S \)
여기서
\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z }\) - 발산 정리(divergence theorem)
- 미분형식 (differential forms) 에 대한 스토크스 정리
\(\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\)
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사전형태의 참고자료==
관련논문
- The History of Stokes' Theorem
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156