복소로그함수

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복소로그함수

개요

로그함수의 복소수로의 확장

복소로그함수

복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의된다

\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다.

예를 들자면, \(z=1=re^{i\cdot 0}\)에 대해서는

\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)

\(\log(1)\)의 값이 무한대로 많은 것이다. 뭔가 이상하다?

중고등학교에서 '함수'의 개념을 가르칠 때, 가장 강조되는 것은 함수는 각 정의역의 원소에 대하여, 공역의 원소가 하나씩 대응되어야 한다는 것이다. 그러니 이대로는 복소로그함수는 함수가 아니다!

학부의 복소함수론에서는 이러한 상황을 타개하기 위하여 복소평면에서 원점에서 시작되는 반직선을 뺀 영역에서 복소로그함수를 정의하며 그 공역, 즉 함수값이 가질 수 있는 영역을 제한하는 것이 보통이다.

그러나 이러한 방식으로는 이 함수를 어떻게 이해하는 것이 정말로 올바른 것인지 제대로 답할 수 없다.

문제의 원인을 잘 들여다보면, 이것은 원위의 점에 정의되는 각도함수를 정의하는 것이 불가능한 이유와 같음을 알 수 있다. 각도함수라는 것을 정의할 수 있는 곳은 원이 아니라, 원 위에 놓여 나선처럼 놓인 직선이었다.

[1]

이 상황을 정리하기 위해서는 이와 같은 발상의 전환이 필요하다. 그것은 '공역'을 제한하는 것이 아니라 바로 '정의역'을 바꾸는 것이다. 로그함수는 원점을 제외한 복소평면에서 정의되는 함수가 아니다.

복소로그함수 \(\log(z)\)는 복소평면에 있는 복소수 z에 대하여 정의된 함수가 아니라, 다음과 같이 생긴 곡면에 정의된 함수로 보아야 한다.

단순히 복소수 z라고 하는 것은 이 곡면의 한 점을 정의하기에 충분하지 않다.

위의 원과 그 위에 놓인 나선(결국은 직선) 의 관계처럼, 원점을 뺀 복소평면을 나선처럼 감고 올라가는 곡면을 복소로그함수의 올바른 정의역으로 보아야 한다.

1 이라는 복소수를 이 곡면의 한 점으로 볼 것이 아니라, 그냥 1이 있다면, 1에서 시작해서 원점 주변을 한바퀴 돌고 돌아온 또다른 1, 두바퀴 돌때 생기는 1, ... 이렇게 본래의 복소평면에 있는 1에 대응되는 수많은 새로운 1이라는 점들이 이 곡면에 놓여 있는 것이다. 이 곡면을 복소로그함수 \(\log(z)\)의 리만곡면이라고 부른다.

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복소로그함수가 사는 곳은 복소평면이 아니라 바로 이렇게 무한히 펼쳐지는 곡면이다.

로그함수와 맴돌이

로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.

복소함수 \(y(z)\)에 대한 오일러 미분방정식 을 생각해보자.

\(z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0\)

이 미분방정식은 원점 즉, \(z=0\)에서 특이점을 가진다.

로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 \(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 간단한 경우를 생각해 보자.

\(z^2\frac{d^2y}{dz^2}+ z\frac{dy}{dz}=0\)

선형 이계 미분방정식 이므로 \(z=1\) 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.

두 함수 \(y_1=1\)과 \(y_2=\log z\) (국소적으로 생각하고 있으므로, \(y_2(1)=0\) 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의 \(z=1\) 근방에서의 해공간의 기저가 된다.

\(y_1'=0\)이므로 미분방정식의 해이다. 또, \(y_2'=1/z\), \(y_2''=-1/z^2\)이므로 역시 미분방정식의 해이다.

즉 이 미분방정식의 \(z=1\) 근방의 모든 해는 적당한 복소수 \(c_1,c_2\)에 대하여 \(y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2\)의 형태로 쓸 수 있다.

이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.

1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 \(1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2\) 으로 남아 있다.

한편, 미분방정식의 특이점인 \(z=0\) 즉, 원점 주위를 \(z=1\)에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(y_1=\log z\)를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, 복소로그함수와 리만곡면에서 보았듯이 \(2\pi i\)만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 \(\log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2\) 를 얻게 된다.

따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 \(y_1,y_2\)에 대하여 행렬

\(\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

에 대응된다.

한바퀴 도는 경우가 행렬 \(\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는 \(\begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), 세바퀴 도는 경우는 \(\begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), 거꾸로 한바퀴 도는 경우는 \(\begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) ... 에 대응된다.

일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism) \(\pi_1 \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\) 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 여기서 \(\pi_1\) 은 복소평면에서 특이점들을 뺀 공간의 fundamental group. 이러한 개념들을 이해해야, 히 ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem 와 같은 수학에 접근할 수 있다.

즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 \(z^2\frac{d^2y}{dz^2}+ z\frac{dy}{dz}=0\) 의 맴돌이군은 정수들이 이루는 군 \(\mathbb{Z}\)가 된다.

복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.

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