조화수열과 조화급수
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개요
- 조화수열의 정의
\(H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) - 오일러상수, 감마[[오일러상수, 감마|]]\(\lim_{n\to\infty}H_{n}-\ln n=\gamma\)
\(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)
근사 공식
- 오일러-맥클로린 공식 을 통해 다음을 얻는다
\(H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sim \log n +\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{s=1}^{\infty}\frac{B_{2s}}{(2s)n^{2s}}\)
성질
\(H_{n-1}=H_n-\frac{1}{n}\)
\(H_{n-1}^2=(H_n-\frac{1}{n})^2=H_n^2+\frac{1}{n^2}-\frac{2H_n}{n}\)
생성함수
\(\sum_{n=1}^\infty H_nz^n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}\)
생성함수의 응용
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}z^{n+1} =\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)\)
\(z=e^{it}\), \(0 \leq t \leq \pi\) 에서
위 식의 실수부를 취하면, 각각 다음 식을 얻는다.
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}\sin (n+1)t=\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})\)
조화수열과 급수
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{(n+1)^2}=\frac{11\pi^4}{360}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{n^2}=\frac{17\pi^4}{360}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\frac{\pi^4}{72}\)
역사
메모
관련된 항목들
- 오일러상수, 감마
- 조화급수와 조화 평균에서 '조화'란?
- 다이감마와 폴리감마 함수(digamma and polygamma functions)
- 로그 사인 적분 (log sine integrals)
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/조화급수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
- http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)
- David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
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관련기사
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