Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)

수학노트
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개요

 

 

 

q의 의미

  • 양자를 뜻하는 quantum의 첫글자
  • 극한 \(q \to 1\)로 갈 때, 고전적인 경우를 다시 얻게 된다
  • h를 파라메터로 사용하는 경우(플랑크상수에서 빌려옴), 극한 \(h \to 0\)를 통하여 고전적인 경우를 얻고, \(q=e^h\)를 만족시킨다
  • 유한체의 원소의 개수를 보통 q로 나타냄

 

 

실수의 q-analogue

  • 실수 \(\alpha\)에 대하여 다음과 같이 정의
    \([\alpha]_q =\frac{1-q^{\alpha}}{1-q} \)
  • 극한 \(q \to 1\)
    \(\frac{1-q^{\alpha}}{1-q} \to \alpha\)

 

 

q-차분연산자

  • 미분에 대응
    \(D_qf(x)=\frac{f(x)-f(qx)}{x-qx}=\frac{f(x)-f(qx)}{(1-q)x}\)

 

 

basic 초기하급수 (q-초기하급수)

  • 초기하급수의 q-analogue
    \(_{j}\phi_k \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} ; q,z \right]\) \(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a_1;q)_n(a_2;q)_n\cdots (a_{j};q)_n} {(q;q)_n(b_1;q)_n,\cdots (b_k,q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n\)
  • q-초기하급수 또는 basic 초기하급수로 불림
  • 오일러의 분할수에 대한 연구에서 다음과 같은 등식이 얻어짐
    \(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
  • 로저스-라마누잔 연분수와 항등식 을 이해하는 틀을 제공

 

 

 

q-초기하급수에 대한 오일러공식

  • 오일러의 무한곱표현 [Andrews2007]
    \(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
    \(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
  • 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

 

 

q-초기하급수의 예

  • q-이항정리
    \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^q_n}{(1-q)^q_n}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-aq^n z}{1-q^n z}, |z|<1\)
  • 로저스-라마누잔 연분수와 항등식의 중요한 예
    \(R(z)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}\)
    \(H(q)=R(q)\)
    \(G(q)=R(1)\)
  • \(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{1}{2}}\) 인 경우

\(G(q) =1+ \sum_{n=1}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)

  • \(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{3}{2}}\) 인 경우
    \(H(q) =1+\sum_{n=1}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)

 

 

삼중곱 공식

  • 자코비 세타함수의 삼중곱 공식
    \(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)

 

 

Heine's theorem

 

 

 

역사

 

 

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  • Quantum calculus
    • Victor Kac, Pokman Cheung, Universitext, Springer-Verlag, 2002
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