연분수

개요

• 다음과 같은 형태로 주어지는 수를 연분수라 한다

\[a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\frac{b_4}{a_4+\frac{b_5}{a_5+\frac{b_6}{a_6+\frac{b_7}{a_7+\frac{b_8}{a_8+\frac{b_9}{a_9+\frac{b_{10}}{a_{10}}}}}}}}}}}\]

• 다음과 같은 경우를 단순연분수라 한다

$$ c=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+\cdots}}}}} $$

• 이를 $c=[a_0;a_1,a_2,\cdots]$로 표현한다
• convergents $c_n=[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]$를 정의
• $c_n$의 분자 $p_n$와 분모 $q_n$로 이루어진 수열에 대하여 다음이 성립한다
  • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n+1} \)
  • \(p_{n+1}=a_{n+1}p_n+p_{n-1}\)
  • \(q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=2\)

 

예

• 루트 2의 연분수 전개는 $[1;2,2,2,\cdots]$, 즉 다음과 같이 주어진다

\[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]

• convergents $\{c_n\}_{n\geq 0}$는 다음과 같이 주어진다

$$ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{5} & \frac{17}{12} & \frac{41}{29} & \frac{99}{70} & \frac{239}{169} & \frac{577}{408} & \frac{1393}{985} & \frac{3363}{2378} \\ \end{array} $$

• $c_n$의 분자 $p_n$와 분모 $q_n$로 이루어진 수열을 생각하자
  • \(p_n\) 1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363
  • \(q_n\) 1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378
• 다음이 성립한다
  • \(p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n+1}\)
  • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n+1} \)
  • \(p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=3\)
  • \(q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=2\)

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 연분수와 유리수 근사
• 가우스의 연분수
• 로저스-라마누잔 연분수
• 타자의 타율과 연분수
• 원주율과 연분수 Brouncker 의 공식
• 킨친 상수
• 2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxaVhxcXc2U1hoMU0/edit