1차원 가우시안 적분
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개요
- 가우시안 적분(Gaussian integral)
\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\)
\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\)
- \(e^{-x^2}\) 의 부정적분은 초등함수로 표현할 수 없다
- 부정적분을 알지 못해도 \((-\infty,\infty)\) 에서의 정적분을 계산할 수 있다.
- 가우시안 적분은 유리수에서의 감마함수의 값으로 표현할 수 있다
극좌표 치환을 이용한 계산
- 극좌표계 항목을 참조
\(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\)
\(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA\)
\(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta=2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr=2\pi[-\frac{1}{2}e^{r^2}]_{0}^{\infty}=\pi\)
극좌표 치환이 사용되었다.
\(\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2\)
\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\)
\(x=\frac{t}{\sqrt{2}}\) 로 치환하면, \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\) 을 얻는다
감마함수와의 관계
- 감마함수를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
\(2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}\)
\(x=\sqrt{t}\)로 치환하면,
\(2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\)
를 얻는다. 따라서
\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\) - 더 일반적으로, 다음이 성립한다.
\(\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})\)
\(\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})\)
역사
메모
함수 \(e^{-x^2}\) 는 정규분포함수에도 등장한다.
평균이 \(\mu\) 이고 분산이 \(\sigma^2\) 인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수는 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) 와 같이 쓸 수 있다.
계수에서 등장하는 \((2\pi)^{-\frac{1}{2}}\) 는, 확률밀도함수의 정규화(전사건의 확률이 1이 되도록 해 주는 것)를 위한 것이다. 즉, \(e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}\) 를 실수 전체에서 적분하면 \(\sqrt{2\pi}\sigma\) 가 된다.
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gaussian
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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