다변수미적분학

개요

• 다변수 함수의 미분과 적분을 공부함.
• 라그랑지 승수 법칙과 헤세판정법을 통해, 함수의 최대값과 최소값을 구하는 기술을 배움.
• '미적분학의 기본정리'의 다변수 확장 버전인 '스토크스 정리' 를 공부함.

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 일변수미적분학
• 기초적인 선형대수학
  • 좌표공간
  • 행렬식
• 벡터의 외적(cross product)

다루는 대상

• 곡선, 곡면, n차원 공간
• 벡터장

중요한 개념 및 정리

• 편미분
• 다변수 함수의 테일러 전개
• 미분연산자
  • grad
  • div
  • curl
• 내적과 외적
• 다변수 함수의 임계점
• 라그랑지 승수 법칙(Lagrange multiplier)
• 헤세판정법
  • 모스 보조정리 (Morse lemma)
  • 판별식 판별법(Determinant test)
• 다중적분
  • 푸비니의 정리 (Fubini's theorem)
• 좌표변환
  • 자코비안과 행렬식
  • 극좌표계
  • 구면좌표계
  • 원통좌표계
  • 치환적분법
• 그린 정리
• 발산 정리
• 스토크스 정리
  • 미분형식으로 표현되는 스토크스 정리의 특별한 경우로 생각할 수 있음.

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• grad, div, curl 과 같은 미분연산자의 좌표불변성
• n차원 구의 부피
• 3차원의 외적을 고차원으로 확장할 수 있을까?1,2,4,8 과 1,3,7
  • 1,2,4,8 혹은 1,3,7

다른 과목과의 관련성

• 전자기학
  • 맥스웰방정식
• 미분기하학
• 편미분방정식
• 이차형식
  • 헤세판정법과 실베스터의 intertia 정리

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 미분형식 (differential forms)
  • 스토크스 정리를 고차원으로 일반화하기 위해서는, 미분다양체와 미분형식의 언어가 필요함
• 미분다양체론

추천도서 및 보조교재

• Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus
  • Michael Spivak
• Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus
  • H. M. Schey
• A history of vector analysis: the evolution of the idea of a vectorial system
  • Michael J. Crowe

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/vector_calculus

관련논문과 에세이

• Sertoz, Ali Sinan. “Continuity of Multivariate Rational Functions.” arXiv:1403.7434 [math], March 28, 2014. http://arxiv.org/abs/1403.7434.
• Vector Analysis
  • Homer V. Craig, Mathematics Magazine, Vol. 25, No. 2 (Nov. - Dec., 1951), pp. 67-86
• Bringing Calculus Up-to-Date
  • M. E. Munroe, The American Mathematical Monthly, Vol. 65, No. 2 (Feb., 1958), pp. 81-90
• Some Remarks About the Curl of a Vector Field
  • J. D. Weston, The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 4 (Apr., 1961), pp. 359-361
• Invariant Definitions for Vector Calculus
  • Oswald Wyler, The American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (Apr., 1968), pp. 394-396
• On the Curl of a Vector Field
  • J.-F. Dumais, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 7 (Aug. - Sep., 1982), pp. 469-473
• Understanding Vector Fields
  • C. R. Curjel, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 6 (Jun. - Jul., 1990), pp. 524-527
• Using Differentials to Bridge the Vector Calculus Gap
  • Tevian Dray and Corinne A. Manogue, The College Mathematics Journal, Vol. 34, No. 4 (Sep., 2003), pp. 283-290
• Degenerate Critical Points
  • Theodore S. Bolis, Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 5 (Nov., 1980), pp. 294-299
• Change of Variables in Multiple Integrals: Euler to Cartan
  • Victor J. Katz, Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 1 (Jan., 1982), pp. 3-11
• The History of Stokes' Theorem
  • Victor J. Katz, Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156