맴돌이군과 미분방정식

\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0\)

\(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 경우,

\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0\)

\(\{1,\log x\}\)는 기저가 된다

해는 \(y=c_1+c_2\log x\)

1은 해석함수이므로, 해석적확장에 의해 변하지 않는다.

원점 주위를 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(\log x\)를 해석적으로 확장하는 경우 \(\log x+2\pi i\) 를 얻는다.

따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 경로는 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 행렬

\(\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

에 대응된다.

이로부터 준동형사상 \(\pi_1(\mathbb{C}-\{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\) 를 얻는다.

목차