맴돌이군과 미분방정식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 23일 (토) 19:48 판
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개요

 

 

 

복소로그함수

복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의된다

\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다.

예를 들자면, \(z=1=re^{i\cdot 0}\)에 대해서는

\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)

\(\log(1)\)의 값이 무한대로 많은 것이다.

 

그런데 중고등학교에서 '함수'의 개념을 가르칠때, 가장 강조되는 것은 함수는 각 정의역의 원소에 대하여, 공역의 원소가 하나씩 대응되는 것이다. 그러니 이대로는 복소로그함수는 함수가 아니다!

학부의 복소함수론에서는 이러한 상황을 타개하기 위하여 복소평면에서 원점에서 시작되는 반직선을 뺀 영역에서 복소로그함수를 정의하며 그 공역, 즉 함수값이 가질 수 있는 영역을 제한하는 것이 보통이다.

 

 

잘 들여다보면, 이것은 원위의 점에 정의되는 각도함수를 정의하는 것이 불가능한 이유와 같음을 알 수 있다.

이 상황을 정리하기 위해서는 발상의 전환이 필요하다. '정의역'을 바꾼다! 로그함수는 원점을 제외한 복소평면에서 정의되는 함수가 아니다.

 

 

각 복소평면에 있는 복소수 z에 대하여 정의된 함수 \(\log(z)\)

 

  • 복소로그함수가 정의된 리만곡면
    [[Media:|]]

 

 

 

오일러 미분방정식

\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0\)

 

\(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 경우,

\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0\)

\(\{1,\log x\}\)는 기저가 된다

해는 \(y=c_1+c_2\log x\)

1은 해석함수이므로, 해석적확장에 의해 변하지 않는다.  \(1 =1 \cdot 1+0 \cdot \log x\)

원점 주위를 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(\log x\)를 해석적으로 확장하여 제자리로 돌아오는 경우 \(\log x+2\pi i=2\pi i\cdot 1+1 \cdot \log x\) 를 얻는다.

따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 행렬 

\(\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

에 대응된다.

일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 준동형사상 \(\pi_1(\mathbb{C}-\{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\) 를 미분방정식에 대한 \(\pi_1\)의 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다.

미분방정식 \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0\)의 맴돌이군은 따라서 \(\mathbb{Z}\)와 같다.

 

 

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