거듭제곱의 합을 구하는 공식

개요

• 1부터 n까지의 r차 거듭제곱의 합을 구하는 공식.
• 베르누이 수 \(B_n\)와 이항계수를 사용하여 표현가능함

\[ \sum_{k=1}^{n}k^r= \begin{cases} n, & \text{if $r=0$} \\ \frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if $r\ge 1$} \\ \end{cases} \]

간단한 예

• \[\Sigma_{k=1}^{n} k^r=1^r+2^r+\cdots + n^r\] 의 테이블

\begin{array}{c|c|c} r & \ \text{factored} & \text{expanded} \\ \hline 0 & n & n \\ 1 & \frac{1}{2} n (n+1) & \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \\ 2 & \frac{1}{6} n (n+1) (2 n+1) & \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \\ 3 & \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 & \frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4} \\ 4 & \frac{1}{30} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^2+3 n-1\right) & \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \\ 5 & \frac{1}{12} n^2 (n+1)^2 \left(2 n^2+2 n-1\right) & \frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5 n^4}{12}-\frac{n^2}{12} \\ 6 & \frac{1}{42} n (n+1) (2 n+1) \left(3 n^4+6 n^3-3 n+1\right) & \frac{n^7}{7}+\frac{n^6}{2}+\frac{n^5}{2}-\frac{n^3}{6}+\frac{n}{42} \\ 7 & \frac{1}{24} n^2 (n+1)^2 \left(3 n^4+6 n^3-n^2-4 n+2\right) & \frac{n^8}{8}+\frac{n^7}{2}+\frac{7 n^6}{12}-\frac{7 n^4}{24}+\frac{n^2}{12} \\ 8 & \frac{1}{90} n \left(10 n^8+45 n^7+60 n^6-42 n^4+20 n^2-3\right) & \frac{n^9}{9}+\frac{n^8}{2}+\frac{2 n^7}{3}-\frac{7 n^5}{15}+\frac{2 n^3}{9}-\frac{n}{30} \\ 9 & \frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3\right) & \frac{n^{10}}{10}+\frac{n^9}{2}+\frac{3 n^8}{4}-\frac{7 n^6}{10}+\frac{n^4}{2}-\frac{3 n^2}{20} \\ \end{array}

베르누이 수

• 베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]
• 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} \]

베르누이 다항식

• 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다

\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

• 베르누이 수 \(B_k\)와 이항계수를 이용하여 표현하면 다음과 같다

\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\]

계차수열

• 베르누이 다항식에 대하여 다음이 성립한다

\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\label{diff}\]

\begin{array}{c|cc} {} & B_n(x) & \left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x) \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3 \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5 \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7 \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8 \\ \end{array}

거듭제곱의 합

차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)의 정리에 의하면, \(\Delta F=f\) 인 두 수열에 대하여 \[\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=F(b)-F(a)\] 이 성립한다.

이를 베르누이 다항식에 적용하면, \[\sum_{k=1}^{n}k^r=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n+1)-B_{r+1}(1)\right) \label{f1}\] 을 얻는다. \(r\ge 1\) 이라 하고, \ref{diff}를 이용하여 \ref{f1}을 다시 쓰면, \[ \begin{align} \quad \sum_{k=1}^{n}k^r&=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(1)\right)+n^r \\ &= \frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0)\right)+n^r\\ &=\left(\sum_{j=0}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}\right)+ n^r \\ &=\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j} \end{align} \]

관련된 항목들

• 차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)
• 오일러-맥클로린 공식
• 베르누이 수와 베르누이 다항식
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
• Umbral calculus

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxc3pmaEo5RHlnd0E/edit

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

관련논문

• Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers
  • Lee Zia
  • The College Mathematics Journal, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300

• Euler's formula nth Differences of Powers
  • H. W. Gould
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 450-467
• Bernoulli's Identity without Calculus
  • Kenneth S. Williams
  • Mathematics Magazine, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 47-50
• The Umbral Method: A Survey of Elementary Mnemonic and Manipulative Uses
  • Andrew P. Guinand
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 187-195
• A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers
  • Hans J. H. Tuenter
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 3 (Mar., 2001), pp. 258-261

메타데이터

위키데이터

• ID : Q1398443

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'faulhaber'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'formula'}]