거듭제곱의 합을 구하는 공식

개요

1부터 n까지의 k-거듭제곱의 합을 구하는 공식.
베르누이 다항식 $B_n(x)$ 또는 베르누이 수 $B_n$를 사용하여 표현가능함

\[\sum_{k=1}^{n-1}k^r=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(1)\right)=\sum_{j=1}^{r+1}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^j\]

간단한 예

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2}$

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4}$

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}$

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}$

$1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}$

베르누이 수

베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
$\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}$
처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
$B_0=1$, $B_1=-{1 \over 2}$, $B_2={1\over 6}$, $B_3=0$, $B_4=-\frac{1}{30}$, $B_5=0$, $B_6=\frac{1}{42}$, $B_8=-\frac{1}{30}$, $B_{10}=\frac{5}{66}$, $B_{12}=-\frac{691}{2730}$,$B_{14}=\frac{7}{6}$

베르누이 다항식

베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다

\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

베르누이 수 $B_k$와 이항계수를 이용하여 표현하면 다음과 같다

\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\]

계차수열

베르누이 다항식에 대하여 다음이 성립한다

\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\]

\begin{array}{c|cc} {} & B_n(x) & \left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x) \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3 \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5 \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7 \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8 \\ \end{array}