다항식의 판별식(discriminant)
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개요
- n차 다항식의 근을 <math>x_1,\cdots, x_n</math> 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다 :<math>\left(\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i)\right)^2</math>
- 교대다항식(alternating polynomial) 의 곱이므로 대칭다항식 이 되며, 근과 계수와의 관계를 이용하여 다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다
- 반데몬드 행렬식 의 제곱과 같다
2차식의 판별식
- 이차식 <math>x^2+bx+c</math>
- 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 을 생각하자
- <math>\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)</math>
- 이 행렬의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.
- 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면, 이 행렬은
- <math>\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>b^2-4 c</math> 이다.
- 행렬식 <math>b^2-ac</math>는 이차형식이며, 다음의 대칭행렬에 대응된다
- <math>
\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \end{array} \right) </math>
- 이 행렬의 대각화에 대해서는 대칭행렬의 대각화 항목을 참조
3차식의 판별식
- 다항식 <math>x^3+ax+b</math> 를 생각하자.
- 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.:<math>\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)</math>
- 근과 계수와의 관계 에 따라:<math>x_1+x_2+x_3=0</math>:<math>x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a</math>:<math>x_1 x_2 x_3=-b</math>
- 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자:<math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a</math>:<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b</math>:<math>x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2</math>
- 위의 행렬은:<math>\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>-4 a^3-27 b^2</math> 가 된다
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q192487
Spacy 패턴 목록
- [{'LEMMA': 'discriminant'}]