드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형

수학노트
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개요

(정리) 드 무아브르

<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta</math>

여기서 <math>\theta</math> 는 임의의 실수, <math>n</math> 은 임의의 정수



증명

  • 수학적 귀납법



오일러의 정리를 통한 증명

  • 오일러의 공식
  • 복소지수함수 <math>e^{i\theta}=\cos \theta+ i\sin \theta</math> 의 성질에서 자연스럽게 유도

<math>(\cos \theta+ i\sin \theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}= \cos n\theta+ i\sin n\theta</math>





정다각형과의 관계

  • <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다. 방정식을 풀기 위해, <math>z=\cos \theta + i \sin \theta</math> 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1</math>:<math>\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1</math>
  • <math>z^3=1</math> 의 해는, <math>1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}</math> 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.3002568-img602.gif



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