디리클레 단위 정리와 수체의 regulator

수학노트
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개요

  • 수체(number field) $K$의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)의 단위(unit)가 이루는 군 $\mathcal{O}_K^{\times}$에 대한 정리
  • \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
  • 군 $\mathcal{O}_K^{\times}$은 유한생성아벨군으로 다음과 같이 쓸 수 있다

$$\mathcal{O}_K^{\times}\cong \mu(\mathcal{O}_K^{\times})\times \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}$$

  • 여기서 $\mu(\mathcal{O}_K^{\times})$은 order가 유한인 원소들이 이루는 부분군
  • 군 $\mathcal{O}_K^{\times}/\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\cong \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}$의 생성원은 기본 단위 (fundamental unit)라 한다


regulator 사상

  • 로그 함수를 이용하여 $\mathcal{O}_K^{\times} \to \mathbb{R}^{r_1+r_2}$로의 regulator 사상을 정의할 수 있다
  • 이 사상의 치역은 $\mathbb{R}^{r_1+r_2}$에서 $\mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}$와 동형인 격자를 이루게 된다
  • 이 격자로 $\mathbb{R}^{r_1+r_2-1}$을 나눠 얻어지는 공간의 부피를 수체의 regulator라 한다
  • 이 수를 $R_K$로 쓰며, 이는 디리클레 유수 (class number) 공식에 등장한다

\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\] 여기서 \(h_K\) 는 유수, \(w_K\)는 \(\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\)의 크기, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), $R_K$는 regulator

  • $R_K$는 기본 단위 $\epsilon_1,\cdots, \epsilon_{r_1+r_2-1}$을 이용하여 얻을 수 있다


실 이차수체의 경우

정리 (디리클레 유수 공식)

실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{|d_K|}}\]

\(h_K\) 는 유수, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식, \(\epsilon_K\)은 기본 단위 (실 이차 수체의 유수와 기본 단위 항목 참조)

  • regulator $R_K=\ln \epsilon_K$로 주어지며 이는 다음 행렬의 minor이기도 하다

$$ \left( \begin{array}{cc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|\right) \end{array} \right) $$

  • $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$
  • $\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
  • $R_K$는 다음 행렬의 $1\times 1$ minor로부터 얻어진다

$$ \left( \begin{array}{cc} \log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) & \log \left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right) \end{array} \right) $$

  • $R_K=\log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) =0.481211825\cdots$

원분체

  • \(K=\mathbb{Q}(\theta)\), $\theta=e^{2\pi i/7}$
  • \([K : \mathbb{Q}] =6\), \(r_1=0, r_2=3\)이므로, \(\mathcal{O}_K^{\times}\)의 rank는 2이다
  • 기본 단위 \(\epsilon_1=1+\theta\)와 \(\epsilon_2=1+\theta+\theta^2\)
  • regulator \(R_{K}\)는 2×3행렬

$$ \left( \begin{array}{ccc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) \\ \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right) $$ 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다

  • \(R_K\approx 2.10181872849\cdots\)


higher regulator

\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\] 여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 $\mathbb{Q}$-기저, $D$는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수


역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • unit - 대한수학회 수학용어집
  • unit 단위, 단원


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Fieker, Claus, and Michael E. Pohst. 2008. “A Lower Regulator Bound for Number Fields.” Journal of Number Theory 128 (10): 2767–75. doi:10.1016/j.jnt.2008.04.005.
  • Friedman, Eduardo. 1989. “Analytic Formulas for the Regulator of a Number Field.” Inventiones Mathematicae 98 (3): 599–622. doi:10.1007/BF01393839.