디리클레 단위 정리와 수체의 regulator

수학노트
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개요

  • 수체(number field) <math>K</math>의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math>의 단위(unit)가 이루는 군 <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>에 대한 정리
  • <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math>
  • 군 <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>은 유한생성아벨군으로 다음과 같이 쓸 수 있다
<math>\mathcal{O}_K^{\times}\cong \mu(\mathcal{O}_K^{\times})\times \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}</math>
  • 여기서 <math>\mu(\mathcal{O}_K^{\times})</math>은 order가 유한인 원소들이 이루는 부분군
  • 군 <math>\mathcal{O}_K^{\times}/\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\cong \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}</math>의 생성원은 기본 단위 (fundamental unit)라 한다


regulator 사상

  • 로그 함수를 이용하여 <math>\mathcal{O}_K^{\times} \to \mathbb{R}^{r_1+r_2}</math>로의 regulator 사상을 정의할 수 있다
  • 이 사상의 치역은 <math>\mathbb{R}^{r_1+r_2}</math>에서 <math>\mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}</math>와 동형인 격자를 이루게 된다
  • 이 격자로 <math>\mathbb{R}^{r_1+r_2-1}</math>을 나눠 얻어지는 공간의 부피를 수체의 regulator라 한다
  • 이 수를 <math>R_K</math>로 쓰며, 이는 디리클레 유수 (class number) 공식에 등장한다
<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math>

여기서 <math>h_K</math> 는 유수, <math>w_K</math>는 <math>\mu(\mathcal{O}_K^{\times})</math>의 크기, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>R_K</math>는 regulator

  • <math>R_K</math>는 기본 단위 <math>\epsilon_1,\cdots, \epsilon_{r_1+r_2-1}</math>을 이용하여 얻을 수 있다


실 이차수체의 경우

정리 (디리클레 유수 공식)

실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{|d_K|}}</math>

<math>h_K</math> 는 유수, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식, <math>\epsilon_K</math>은 기본 단위 (실 이차 수체의 유수와 기본 단위 항목 참조)

  • regulator <math>R_K=\ln \epsilon_K</math>로 주어지며 이는 다음 행렬의 minor이기도 하다
<math>

\left( \begin{array}{cc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|\right) \end{array} \right) </math>

예

  • <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math>
  • <math>\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
  • <math>R_K</math>는 다음 행렬의 <math>1\times 1</math> minor로부터 얻어진다
<math>

\left( \begin{array}{cc} \log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) & \log \left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right) \end{array} \right) </math>

  • <math>R_K=\log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) =0.481211825\cdots</math>

원분체

예

  • <math>K=\mathbb{Q}(\theta)</math>, <math>\theta=e^{2\pi i/7}</math>
  • <math>[K : \mathbb{Q}] =6</math>, <math>r_1=0, r_2=3</math>이므로, <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>의 rank는 2이다
  • 기본 단위 <math>\epsilon_1=1+\theta</math>와 <math>\epsilon_2=1+\theta+\theta^2</math>
  • regulator <math>R_{K}</math>는 2×3행렬
<math>

\left( \begin{array}{ccc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) \\ \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right) </math> 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다

  • <math>R_K\approx 2.10181872849\cdots</math>


higher regulator

  • 데데킨트 제타함수에서 가져옴
  • 수체 <math>K</math>, <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math>
  • 다음이 성립한다
<math>\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}</math> 여기서 <math>\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)</math> 는 Bloch group <math>B(K)\otimes \mathbb{Q}</math>의 <math>\mathbb{Q}</math>-기저, <math>D</math>는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수


역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • unit - 대한수학회 수학용어집
  • unit 단위, 단원


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Fieker, Claus, and Michael E. Pohst. 2008. “A Lower Regulator Bound for Number Fields.” Journal of Number Theory 128 (10): 2767–75. doi:10.1016/j.jnt.2008.04.005.
  • Friedman, Eduardo. 1989. “Analytic Formulas for the Regulator of a Number Field.” Inventiones Mathematicae 98 (3): 599–622. doi:10.1007/BF01393839.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

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