모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

개요

• 타원적분의 singular value k
  • 자연수 \(n \) 에 대하여, 다음을 만족시키는 \(k\)를 singular value 라 한다\[\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \]
• 타원 모듈라 λ-함수\[\lambda(\tau)=k^2(\tau)\] 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
• 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량에 그 자리를 내줌
• explicit class field theory 에서 중요한 역할을 한다
• 초등정수론의 합동식 (모듈로 modulo 연산) 와는 다른 것임.

singular moduli와 관련된 함수들

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)

• 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
• \(J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}\)\[j(\tau)=1728J(\tau)\]\[ j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\]
• 베버(Weber) 모듈라 함수
• 라마누잔의 class invariants

타원적분과 singular moduli

• 일종타원적분 K\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\]\[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\]\[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\]\[\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}\right)= \sqrt{4}\]
• singular values\[k(i)=\frac{1}{\sqrt{2}}\]\[k(\sqrt{2}i)=\sqrt{2}-1\]\[k(\sqrt{3}i)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]\[k(2i)=3-2\sqrt{2}\]

• singular moduli\[\lambda(i)=k^2(i)=\frac{1}{2}\]

\(s=1\)일때의 singular moduli 모음

• \(s=1\)에서의 디리클레 L-함수의 도함수 값 \[L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\]Chowla-셀베르그 공식 항목 참조
• 적분쇼 \[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'_{-4}(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln \left(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\right)\]
• 타원적분의 singular value k\[k(\sqrt{-1})=\frac{1}{\sqrt{2}}\]
• 타원 모듈라 λ-함수\[\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\]
• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식\[r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\]
• 베버(Weber) 모듈라 함수\[\mathfrak{f}(i)^8=4\]\[\mathfrak{f}_1(i)^8=2\]\[\mathfrak{f}_2(i)^8=2\]
• 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)\[ j(\sqrt{-1})=1728=12^3\]
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{4})}{2\sqrt{2}\Gamma(\frac{3}{4})}=1.8540746773\cdots\]
• 자코비 세타함수 \[\theta_3(\sqrt{-1})=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}\]
• 데데킨트 에타함수 \[\eta(\sqrt{-1})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\]

하위페이지

• 데데킨트 에타함수
• 라마누잔의 class invariants
• 모듈라 군(modular group)
• 모듈라 형식(modular forms)
• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
• 판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
• 베버(Weber) 모듈라 함수
• 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
• 타원 모듈라 λ-함수
• 타원적분의 singular value k

관련된 항목들

• 타원적분
• AGM과 파이값의 계산
• 국제 수학자 대회

수학용어번역

• modular - 대한수학회 수학용어집
• http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=kor_term&fstr=모듈라]

관련도서

• Tom M. Apostol Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 1990
• Joseph Lehner, Discontinuous Groups and Automorphic Functions

관련논문

• Modular Miracles
  • John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 1 (Jan., 2001), pp. 70-76
• Rationals and the Modular Group
  • Roger C. Alperin, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 8 (Oct., 1999), pp. 771-773
• Modular functions and transcendence questions
  • Yu V Nesterenko 1996 Sb. Math. 187 1319-1348
• On singular moduli.
  • Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355, 191-220

관련링크와 웹페이지

• Fundamental Domain drawer
  • Java applet, H. A. Verrill
• The Action of the Modular Group on the Fundamental Domain
  • Wolfram