"모듈라 군, j-invariant and the singular moduli"의 두 판 사이의 차이

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*  singular moduli<br><math>\lambda(i)=k^2(i)=\frac{1}{2}</math><br>
 
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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]] , [[자코비 세타함수]], [[라마누잔의 class invariants]], [[라마누잔과 파이]] 참조<br><math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br><math>\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}</math><br><math>\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}</math><br>
 
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<math>\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}</math>
 
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<math>k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>
 
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<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math>
 
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<math>E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{</math>
 
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<math>k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>
 
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<math>K'(k) = K(k')</math>
 
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<math>E'(k) = E(k')</math>
 
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* 위의 함수들을 이용하여, 양수 <math>r</math>에 대하여 다음을 정의
 
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<math>\lambda^{*}(r):=k(i\sqrt{r})</math>
 
  
 
 
 
 
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*  Discontinuous Groups and Automorphic Functions<br>
 
*  Discontinuous Groups and Automorphic Functions<br>
 
** Joseph Lehner
 
** Joseph Lehner
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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<h5>관련논문</h5>
  
 
* [http://www.math.lsu.edu/%7Everrill/fundomain/ Fundamental Domain drawer]<br>
 
* [http://www.math.lsu.edu/%7Everrill/fundomain/ Fundamental Domain drawer]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2589026 Rationals and the Modular Group]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2589026 Rationals and the Modular Group]<br>
 
** Roger C. Alperin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 106, No. 8 (Oct., 1999), pp. 771-773
 
** Roger C. Alperin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 106, No. 8 (Oct., 1999), pp. 771-773
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* Modular functions and transcendence questions
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* Yu V Nesterenko 1996 Sb. Math. 187 1319-1348
 
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662 On singular moduli.]<br>
 
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662 On singular moduli.]<br>
 
** Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355, 191-220
 
** Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355, 191-220

2009년 12월 5일 (토) 13:35 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 타원적분의 singular value k
    • 자연수 \(n \) 에 대하여, 다음을 만족시키는 \(k\)를 singular value 라 한다
      \(\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \)
  • 타원 모듈라 λ-함수
    \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨

  • 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량에 그 자리를 내줌
  • explicit class field theory 에서 중요한 역할을 한다

 

 

singular moduli와 관련된 함수들

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)

 

 

타원적분과 singular moduli
  • 일종타원적분 K
    \(\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\)
    \(\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\)
    \(\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\)
    \(\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}}\right)= \sqrt{4}\)
  • singular values
    \(k(i)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
    \(k(\sqrt{2}i)=\sqrt{2}-1\)
    \(k(\sqrt{3}i)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
    \(k(2i)=3-2\sqrt{2}\)
  • singular moduli
    \(\lambda(i)=k^2(i)=\frac{1}{2}\)

 

 

\(s=1\)일때의 singular moduli 모음

 

 

하위페이지

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

표준적인 도서 및 추천도서
  • Discontinuous Groups and Automorphic Functions
    • Joseph Lehner

 

 

관련논문
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