밀그램의 정리
개요
- 정수계수 이차형식의 부호수 (signature)와 가우스 합 불변량의 관계
- <math>(L,q)</math> : 정수계수 이차형식, 즉, 비퇴화된 대칭 겹선형 형식
- <math>
\langle , \rangle : L\times L\to \mathbb{Z} </math> 이 주어진 free <math>\mathbb{Z}</math>-module of finite rank
- 판별식 형식
- <math>
\begin{aligned} q:&L^{*}/L&\to& \mathbb{Q}/2\mathbb{Z}\\ &x&\mapsto& q(x)=\langle x,x \rangle \pmod{2\mathbb{Z}} \end{aligned} </math>
- 실계수 이차형식 <math>L\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}</math>의 양의 고유값의 개수를 <math>s_{+}</math>, 음의 고유값의 개수를 <math>s_{-}</math>라 두자
- 부호수는 <math>\operatorname{sign}(L):=s_{+}-s_{-}</math>로 정의
- 정리 (밀그램)
- <math>
\frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=e^{\pi i \operatorname{sign}(L)/4} </math>
예
1차원 격자
- 짝수인 자연수 <math>N</math>에 대하여, 1차원 격자 <math>L=(\mathbb{Z},Nx^2)</math>와 쌍대 <math>L^{*}=(\frac{1}{N}\mathbb{Z},Nx^2)</math> 를 생각하자
- <math>
\frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}e^{\pi i N(\frac{k}{N})^2}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}e^{\pi i k^2/N}=\frac{1}{\sqrt{N}}S(1,N) </math> 여기서
- <math>S(c,d)=\sum_{r=0}^{d-1} e^{\pi i cr^2/d}</math>
- 밀그램의 정리에 의해 다음을 얻는다
- <math>S(1,N)=e^{\pi i /4}\sqrt{N}</math>
- 한편, <math>c=1,d=N</math>이라 두고, <math>S(c,d)</math>에 가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation)를 적용하면 다음을 얻는다
- <math>\sqrt{N}\overline{S(N,1)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{1}S(1,N)</math>
따라서
- <math>
S(1,N)=e^{\pi i /4}\sqrt{N} </math>
<math>G_2</math>
- <math>G_2</math> 루트 시스템 <math>\mathbb{R}^2</math>, 리대수 g2의 유한차원 표현론 항목 참조
- <math>\alpha_1=(\sqrt{2},0)</math>
- <math>\alpha_2=(-\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})</math>
- 이를 기저로 하는 정수계수 이차형식 <math>L</math>을 얻는다
- 쌍대기저 <math>L^{*}</math>
- <math>
\beta_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})\\ \beta_2=(0,\sqrt{2}/\sqrt{3}) </math>
- 다음을 얻는다
- <math>
\alpha_1=2\beta_1-3\beta_2\\ \alpha_2=-3\beta_1+6\beta_2 </math>
- 따라서 <math>|L^{*}/L|=3</math>이고 <math>L^{*}/L=\{0,\beta_2,2\beta_2\}</math>
- <math>q(\beta_2)=2/3,q(2\beta_2)=8/3</math>
- <math>\operatorname{sign}(L)=2</math>
- <math>
\frac{1}{\sqrt{|L^{*}/L|}}\sum_{x\in L^{*}/L} e^{\pi i q(x)}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+e^{\frac{2 i \pi }{3}}+e^{\frac{2 i \pi }{3}})=i </math>
- <math>
e^{\pi i \operatorname{sign}(L)/4}=i </math>
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- signature - 대한수학회 수학용어집