"상수곡률곡면과 사인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

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*  솔리톤 사인-고든 [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/geometry_of_solitons.pdf http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf]<br>
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*  솔리톤 사인-고든 [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/geometry_of_solitons.pdf http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf]
 
* Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” <em>Letters in Mathematical Physics</em> 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430.
 
* Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” <em>Letters in Mathematical Physics</em> 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430.
 
* É. G. Poznyak and E. V. Shikin, [http://www.springerlink.com/content/n670037050717721/ Surfaces of negative curvature] Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887
 
* É. G. Poznyak and E. V. Shikin, [http://www.springerlink.com/content/n670037050717721/ Surfaces of negative curvature] Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887

2020년 11월 16일 (월) 07:36 판

개요

 

 

사인-고든 방정식

  • 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우

\[E=1, F=\cos (\phi (x,t)),G=1\]

  • 가우스 곡률 이 \(K=-1\)이 되도록 하는, 함수 \(\phi (x,t)\) 를 찾는 문제
  • 함수 \(\phi (x,t)\) 가 사인-고든 방정식 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다

 

 

크리스토펠 기호

\(\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}\)

 

 

리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)

 

 

가우스 곡률

  • \(K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}\)
  • \(K=-1\) 이 되려면, \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 을 만족시키면 된다
  • 미분방정식 \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 사인-고든 방정식 이 된다

 

 

 

예

 

 

역사

 

 

 

메모


관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

사전 형태의 자료

 

리뷰, 에세이, 강의노트


 

관련도서

관련논문

  • Shimpei Kobayashi, A construction method for discrete constant negative Gaussian curvature surfaces, arXiv:1604.02772 [math.DG], April 11 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02772
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