"상수곡률곡면과 사인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
  
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* [[비유클리드 기하학]] 에 대한 관심에서 상수곡률곡면을 찾으려는 시도가 생겨남
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* 편미분방정식인 [[사인-고든 방정식]] 의 해로부터 상수곡률곡면을 얻을 수 있음
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==사인-고든 방정식==
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*  곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우
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:<math>E=1, F=\cos (\phi (x,t)),G=1</math>
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* [[가우스 곡률]] 이 <math>K=-1</math>이 되도록 하는, 함수 <math>\phi (x,t)</math> 를 찾는 문제
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* 함수 <math>\phi (x,t)</math> 가 [[사인-고든 방정식]] 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다
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==크리스토펠 기호==
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<math>\begin{array}{ll}  \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\  \Gamma _{12}^1 & 0 \\  \Gamma _{21}^1 & 0 \\  \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\  \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\  \Gamma _{12}^2 & 0 \\  \Gamma _{21}^2 & 0 \\  \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}</math>
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==리만 텐서==
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<math>\begin{array}{ll}  \begin{array}{ll}  R_{111}^1 & 0 \\  R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array}  &  \begin{array}{ll}  R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\  R_{122}^1 & 0 \end{array}  \\  \begin{array}{ll}  R_{211}^1 & 0 \\  R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array}  &  \begin{array}{ll}  R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\  R_{222}^1 & 0 \end{array}  \\  \begin{array}{ll}  R_{111}^2 & 0 \\  R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array}  &  \begin{array}{ll}  R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\  R_{122}^2 & 0 \end{array}  \\  \begin{array}{ll}  R_{211}^2 & 0 \\  R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}  &  \begin{array}{ll}  R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\  R_{222}^2 & 0 \end{array}  \end{array}</math>
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==가우스 곡률==
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* <math>K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}</math>
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* <math>K=-1</math> 이 되려면, <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 을 만족시키면 된다
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*  미분방정식 <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 [[사인-고든 방정식]] 이 된다
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==예==
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* [[의구 (Pseudosphere)]]
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==메모==
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* [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/SGE.html http://www.math.uci.edu/~cterng/SGE.html]
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*  솔리톤 사인-고든 [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/geometry_of_solitons.pdf http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf]
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* Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” <em>Letters in Mathematical Physics</em> 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430.
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* É. G. Poznyak and E. V. Shikin, [http://www.springerlink.com/content/n670037050717721/ Surfaces of negative curvature] Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887
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* http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2029/67.full.pdf
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==관련된 항목들==
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* [[의구 (Pseudosphere)]]
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* [[사인-고든 방정식]]
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* [[리우빌 방정식]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjQ1MjNhOTctNjVkNS00ZTQ0LWFkNDYtZDliYjg4YTU5Mzdj/edit
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Burstall, Francis. “Notes on Transformations in Integrable Geometry.” arXiv:1511.04216 [math], November 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04216.
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* Robert McLachlan, [http://www.springerlink.com/content/x656505g28736tml/ A gallery of constant-negative-curvature surfaces] The Mathematical Intelligencer, 1994, Volume 16, Number 4, Pages 31-37
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==관련도서==
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* C. ROGERS, [http://www.amazon.com/B%C3%A4cklund-Darboux-Transformations-Applications-Mathematics/dp/0521012880 Bäcklund and Darboux Transformations: Geometry and Modern Applications in Soliton Theory]
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[[분류:미분기하학]]
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[[분류:곡면]]
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[[분류:쌍곡기하학]]
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== 관련논문 ==
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* Shimpei Kobayashi, A construction method for discrete constant negative Gaussian curvature surfaces, arXiv:1604.02772 [math.DG], April 11 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02772

2020년 12월 28일 (월) 03:30 기준 최신판

개요



사인-고든 방정식

  • 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우

\[E=1, F=\cos (\phi (x,t)),G=1\]

  • 가우스 곡률 이 \(K=-1\)이 되도록 하는, 함수 \(\phi (x,t)\) 를 찾는 문제
  • 함수 \(\phi (x,t)\) 가 사인-고든 방정식 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다



크리스토펠 기호

\(\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}\)



리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)



가우스 곡률

  • \(K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}\)
  • \(K=-1\) 이 되려면, \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 을 만족시키면 된다
  • 미분방정식 \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 사인-고든 방정식 이 된다




예



메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트



관련도서

관련논문

  • Shimpei Kobayashi, A construction method for discrete constant negative Gaussian curvature surfaces, arXiv:1604.02772 [math.DG], April 11 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02772
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