"상수곡률곡면과 사인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 8개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==개요== | ==개요== | ||
| 12번째 줄: | 4번째 줄: | ||
* 편미분방정식인 [[사인-고든 방정식]] 의 해로부터 상수곡률곡면을 얻을 수 있음 | * 편미분방정식인 [[사인-고든 방정식]] 의 해로부터 상수곡률곡면을 얻을 수 있음 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==사인-고든 방정식== | ==사인-고든 방정식== | ||
| − | * 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우:<math>E=1 | + | * 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우 |
| + | :<math>E=1, F=\cos (\phi (x,t)),G=1</math> | ||
* [[가우스 곡률]] 이 <math>K=-1</math>이 되도록 하는, 함수 <math>\phi (x,t)</math> 를 찾는 문제 | * [[가우스 곡률]] 이 <math>K=-1</math>이 되도록 하는, 함수 <math>\phi (x,t)</math> 를 찾는 문제 | ||
* 함수 <math>\phi (x,t)</math> 가 [[사인-고든 방정식]] 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다 | * 함수 <math>\phi (x,t)</math> 가 [[사인-고든 방정식]] 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==크리스토펠 기호== | ==크리스토펠 기호== | ||
| 30번째 줄: | 23번째 줄: | ||
<math>\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}</math> | <math>\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==리만 텐서== | ==리만 텐서== | ||
| 38번째 줄: | 31번째 줄: | ||
<math>\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}</math> | <math>\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==가우스 곡률== | ==가우스 곡률== | ||
| − | * <math>K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}</math | + | * <math>K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}</math> |
| − | * <math>K=-1</math> 이 되려면, <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 을 만족시키면 된다 | + | * <math>K=-1</math> 이 되려면, <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 을 만족시키면 된다 |
| − | * 미분방정식 <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 [[사인-고든 방정식]] 이 된다 | + | * 미분방정식 <math>\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))</math> 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 [[사인-고든 방정식]] 이 된다 |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==예== | ==예== | ||
| 58번째 줄: | 51번째 줄: | ||
* [[의구 (Pseudosphere)]] | * [[의구 (Pseudosphere)]] | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
==메모== | ==메모== | ||
| − | * [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/SGE.html http://www.math.uci.edu/~cterng/SGE.html] | + | * [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/SGE.html http://www.math.uci.edu/~cterng/SGE.html] |
| − | * 솔리톤 사인-고든 [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/geometry_of_solitons.pdf http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf] | + | * 솔리톤 사인-고든 [http://www.math.uci.edu/%7Ecterng/geometry_of_solitons.pdf http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf] |
* Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” <em>Letters in Mathematical Physics</em> 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430. | * Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” <em>Letters in Mathematical Physics</em> 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430. | ||
* É. G. Poznyak and E. V. Shikin, [http://www.springerlink.com/content/n670037050717721/ Surfaces of negative curvature] Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887 | * É. G. Poznyak and E. V. Shikin, [http://www.springerlink.com/content/n670037050717721/ Surfaces of negative curvature] Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887 | ||
* http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2029/67.full.pdf | * http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2029/67.full.pdf | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| 91번째 줄: | 68번째 줄: | ||
* [[의구 (Pseudosphere)]] | * [[의구 (Pseudosphere)]] | ||
* [[사인-고든 방정식]] | * [[사인-고든 방정식]] | ||
| + | * [[리우빌 방정식]] | ||
| + | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjQ1MjNhOTctNjVkNS00ZTQ0LWFkNDYtZDliYjg4YTU5Mzdj/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjQ1MjNhOTctNjVkNS00ZTQ0LWFkNDYtZDliYjg4YTU5Mzdj/edit | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | ==사전 | ||
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/ | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
| + | * Burstall, Francis. “Notes on Transformations in Integrable Geometry.” arXiv:1511.04216 [math], November 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04216. | ||
* Robert McLachlan, [http://www.springerlink.com/content/x656505g28736tml/ A gallery of constant-negative-curvature surfaces] The Mathematical Intelligencer, 1994, Volume 16, Number 4, Pages 31-37 | * Robert McLachlan, [http://www.springerlink.com/content/x656505g28736tml/ A gallery of constant-negative-curvature surfaces] The Mathematical Intelligencer, 1994, Volume 16, Number 4, Pages 31-37 | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
==관련도서== | ==관련도서== | ||
* C. ROGERS, [http://www.amazon.com/B%C3%A4cklund-Darboux-Transformations-Applications-Mathematics/dp/0521012880 Bäcklund and Darboux Transformations: Geometry and Modern Applications in Soliton Theory] | * C. ROGERS, [http://www.amazon.com/B%C3%A4cklund-Darboux-Transformations-Applications-Mathematics/dp/0521012880 Bäcklund and Darboux Transformations: Geometry and Modern Applications in Soliton Theory] | ||
| + | |||
[[분류:미분기하학]] | [[분류:미분기하학]] | ||
[[분류:곡면]] | [[분류:곡면]] | ||
| + | [[분류:쌍곡기하학]] | ||
| + | |||
| + | == 관련논문 == | ||
| + | |||
| + | * Shimpei Kobayashi, A construction method for discrete constant negative Gaussian curvature surfaces, arXiv:1604.02772 [math.DG], April 11 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02772 | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:30 기준 최신판
개요
사인-고든 방정식
- 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우
\[E=1, F=\cos (\phi (x,t)),G=1\]
- 가우스 곡률 이 \(K=-1\)이 되도록 하는, 함수 \(\phi (x,t)\) 를 찾는 문제
- 함수 \(\phi (x,t)\) 가 사인-고든 방정식 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다
크리스토펠 기호
\(\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ \Gamma _{12}^1 & 0 \\ \Gamma _{21}^1 & 0 \\ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}\)
리만 텐서
\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)
가우스 곡률
- \(K=-\frac{\phi ^{(1,1)}(x,t)}{ (-\sin (\phi (x,t)))}\)
- \(K=-1\) 이 되려면, \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 을 만족시키면 된다
- 미분방정식 \(\phi ^{(1,1)}(x,t)=\sin (\phi (x,t))\) 은 빛원뿔(light cone) 좌표계에서의 사인-고든 방정식 이 된다
예
메모
- http://www.math.uci.edu/~cterng/SGE.html
- 솔리톤 사인-고든 http://www.math.uci.edu/~cterng/geometry_of_solitons.pdf
- Nesterenko, V. V. 1980. “On the geometric origin of the equation ?,11 ? ?,22 = e? ? e-2?” Letters in Mathematical Physics 4 (6) (November): 451-456. doi:10.1007/BF00943430.
- É. G. Poznyak and E. V. Shikin, Surfaces of negative curvature Journal of Mathematical Sciences Volume 5, Number 6 (1976), 865-887
- http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/459/2029/67.full.pdf
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Burstall, Francis. “Notes on Transformations in Integrable Geometry.” arXiv:1511.04216 [math], November 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.04216.
- Robert McLachlan, A gallery of constant-negative-curvature surfaces The Mathematical Intelligencer, 1994, Volume 16, Number 4, Pages 31-37
관련도서
관련논문
- Shimpei Kobayashi, A construction method for discrete constant negative Gaussian curvature surfaces, arXiv:1604.02772 [math.DG], April 11 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02772