양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

수학노트
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개요

<math>\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
<math>(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>


잭슨 적분과 양자 다이로그 함수

q-integral (Jackson integral)

  • <math>0<q<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의
<math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math>
  • <math>q\to 1</math> 이면,
<math>\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx </math>



양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

<math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math>
  • 잭슨 적분을 이용하여 <math>\operatorname{Li}_{2,q}(z)</math>를 다음과 같이 정의
<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) </math>
  • 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함
<math>\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math>
  • 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음
<math>

\operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} </math>

  • 다음의 관계가 성립한다
<math>

-\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} </math>


<math>q\to 1</math> 일 때의 근사식

  • <math>q=e^{-t}</math> 이고 t가 0으로 갈 때,
<math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math>
<math>

\operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots </math>



q가 root of unity 일 때의 근사식

  • [BR1995] section 3


양자 다이로그 항등식


메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



리뷰논문과 에세이


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'quantum'}, {'LEMMA': 'dilogarithm'}]
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