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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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* [[클라인의 4차곡선]]
 
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<h5>개요</h5>
 
  
 
*  종수(genus)가 3인 복소대수곡선<br>
 
*  종수(genus)가 3인 복소대수곡선<br>
 
** <math>\mathbb CP^2</math> 에서 <math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math> 로 주어진 (복소) 대수곡선
 
** <math>\mathbb CP^2</math> 에서 <math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math> 로 주어진 (복소) 대수곡선
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** [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]]을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면<br><math>\mathbb H^2/\Gamma(7)</math><br><math>\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}</math><br>
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** [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]]을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면<br><math>\mathbb H^2/\Gamma(7)</math><br><math>\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}</math><br>
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* [[쌍곡기하학]] 세계의 플라톤 다면체(Platonic solid), 즉 [[정다면체]]<br>
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* [[쌍곡기하학]] 세계의 플라톤 다면체(Platonic solid), 즉 [[정다면체]]<br>
 
** 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
 
** 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
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** 자기동형군, 즉 대칭군은 <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{F}_7)</math>와 동형임. 
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** 자기동형군, 즉 대칭군은 <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{F}_ 7)</math>와 동형임.  
 
** 168가지의 대칭을 가짐
 
** 168가지의 대칭을 가짐
  
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<h5>자기동형군</h5>
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==자기동형군==
  
 
* <math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math>
 
* <math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math>
 
*  order 3<br> x-> y-> z-> x<br>
 
*  order 3<br> x-> y-> z-> x<br>
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*  order 7<br> x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c<br> we want <math>a^3b=b^3c=c^3a</math><br> solution : <math> a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1</math> where <math>\zeta^7=1</math><br>
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*  order 7<br> x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c<br> we want <math>a^3b=b^3c=c^3a</math><br> solution : <math> a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1</math> where <math>\zeta^7=1</math><br>
  
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<h5>PSL(2,7)</h5>
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==PSL(2,7)==
  
 
* PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
 
* PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
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* SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
 
* SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
 
* PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
 
* PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
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*  크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)<br> a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 [[모듈라 군(modular group)]] 의 원소)<br><math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math>T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
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*  크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)<br> a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 [[모듈라 군(modular group)]] 의 원소)<br><math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math>T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
  
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PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 <math> \mathbb{C}[x,y,z]</math>에 작용한다.
 
PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 <math> \mathbb{C}[x,y,z]</math>에 작용한다.
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If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on x^3y+y^3z+z^3x=0
 
If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on x^3y+y^3z+z^3x=0
  
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<h5>(2,3,7) 삼각형</h5>
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==(2,3,7) 삼각형==
  
 
*  삼각형의 세 각이 각각<br><math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math><br> 로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,<br><math>\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}</math><br> 가 되어, 180도보다 작게 된다.<br>
 
*  삼각형의 세 각이 각각<br><math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math><br> 로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,<br><math>\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}</math><br> 가 되어, 180도보다 작게 된다.<br>
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* [[쌍곡기하학]] 항목 참조
 
* [[쌍곡기하학]] 항목 참조
  
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<h5>전개도</h5>
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<h5>세타함수</h5>
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*  세타함수<br><math>\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br><math>\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}</math><br><math>\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br>
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*  세타함수<br><math>\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br><math>\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br><math>\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br>
 
*  세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다<br><math>x=\theta_{7,1}</math>,<math>y=-\theta_{7,5}</math><math>z=\theta_{7,3}</math><br><math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math><br><math>xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2</math><br>
 
*  세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다<br><math>x=\theta_{7,1}</math>,<math>y=-\theta_{7,5}</math><math>z=\theta_{7,3}</math><br><math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math><br><math>xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2</math><br>
  
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<h5>조각</h5>
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==조각==
  
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
  
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* A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7×24, 일주일에 담긴 시간의 수
 
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*  쌍곡기하학의 정다면체로 이해할 수 있음.<br>
 
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** 정칠각형 24조각
 
  
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<h5>메모</h5>
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==메모==
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* http://www.youtube.com/watch?v=-FB045lx05M
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* http://www.ams.org/notices/201007/rtx100700840p.pdf
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* A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7\[Times]24, 일주일에 담긴 시간의 수
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*  쌍곡기하학의 정다면체로 이해할 수 있음.<br>
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** 정칠각형 24조각
 
* [http://maxwelldemon.com/2011/10/02/magnetic-klein-quartic/ Magnetic Klein Quartic]
 
* [http://maxwelldemon.com/2011/10/02/magnetic-klein-quartic/ Magnetic Klein Quartic]
 
* [http://www.math.uic.edu/%7Eagol/conglink.pdf http://www.math.uic.edu/~agol/conglink.pdf]
 
* [http://www.math.uic.edu/%7Eagol/conglink.pdf http://www.math.uic.edu/~agol/conglink.pdf]
  
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYjA0YzMzNTYtYzc2Ny00NGE2LWIzY2QtMWU1MTJiODYwM2Y3&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYjA0YzMzNTYtYzc2Ny00NGE2LWIzY2QtMWU1MTJiODYwM2Y3&sort=name&layout=list&num=50
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* [[매스매티카 파일 목록]]
 
* [[매스매티카 파일 목록]]
  
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==관련된 항목들==
  
 
* [[컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리]]
 
* [[컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리]]
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* [[반전사상(inversion)]]
 
* [[반전사상(inversion)]]
  
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<h5>사전형태의 자료</h5>
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<h5>관련도서</h5>
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==관련도서==
  
 
* [http://www.msri.org/publications/books/Book35/contents.html The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve]<br>
 
* [http://www.msri.org/publications/books/Book35/contents.html The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve]<br>
 
** Edited by Silvio Levy
 
** Edited by Silvio Levy
  
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<h5>관련논문</h5>
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==관련논문==
  
 
* [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mmj&paperid=224&option_lang=eng Ramanujan modular forms and the Klein quartic]<br>
 
* [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mmj&paperid=224&option_lang=eng Ramanujan modular forms and the Klein quartic]<br>
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** G. Lachaud, Mosc. Math. J., 5:4 (2005), 829–856
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** G. Lachaud, Mosc. Math. J., 5:4 (2005), 829\[Dash]856
 
* [http://arxiv.org/abs/math.NT/0005160 Shimura curve computations]<br>
 
* [http://arxiv.org/abs/math.NT/0005160 Shimura curve computations]<br>
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** Noam Elkies, "Algorithmic Number Theory: 3rd International Symposium, ANTS-III; Portland, OR, 6/98: Proceedings", J.P.Buhler, ed.; Lecture Notes in Computer Science, Vol.1423, pages 1-47, 2000
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** Noam Elkies, "Algorithmic Number Theory: 3rd International Symposium, ANTS-III; Portland, OR, 6/98: Proceedings", J.P.Buhler, ed.; Lecture Notes in Computer Science, Vol .1423, pages 1-47, 2000
  
 
* [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/klein.pdf On the Order-Seven Transformation of Elliptic Functions]<br>
 
* [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/klein.pdf On the Order-Seven Transformation of Elliptic Functions]<br>
 
** '''Felix Klein''' (translated by Silvio Levy)
 
** '''Felix Klein''' (translated by Silvio Levy)
 
* [http://www.jstor.org/stable/2974640 A Hyperbolic Plane Coloring and the Simple Group of Order 168]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2974640 A Hyperbolic Plane Coloring and the Simple Group of Order 168]<br>
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** Dana Mackenzie, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 8 (Oct., 1995), pp. 706-715
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** Dana Mackenzie, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 8 (Oct., 1995), pp. 706-715
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* [http://www.zagrebhockeycamp.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_447_473_KING.pdf Riemann surfaces as descriptors for symmetrical negative curvature carbon and boron nitride structures]<br>
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* [http://www.zagrebhockeycamp.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_ 2002_ 447_ 473_KING.pdf Riemann surfaces as descriptors for symmetrical negative curvature carbon and boron nitride structures]<br>
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** KING R. Bruce, Croatica chemica acta, 2002, vol. 75, no2, pp. 447-473
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** KING R. Bruce, Croatica chemica acta, 2002, vol. 75, no2, pp. 447-473
 
* [http://www.xs4all.nl/%7Ewesty31/Geometry/Geometry.html Platonic tilings of Riemann surfaces]
 
* [http://www.xs4all.nl/%7Ewesty31/Geometry/Geometry.html Platonic tilings of Riemann surfaces]
  
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<h5>블로그</h5>
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==블로그==
  
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/11/09/467 유한단순군 시간을 말하다]<br>
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/11/09/467 유한단순군 시간을 말하다]
 
**  피타고라스의 창<br>
 
**  피타고라스의 창<br>
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 

2012년 9월 19일 (수) 12:34 판

개요

  • 종수(genus)가 3인 복소대수곡선
    • \(\mathbb CP^2\) 에서 \(x^3y+y^3z+z^3x=0\) 로 주어진 (복소) 대수곡선
    • 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면
      \(\mathbb H^2/\Gamma(7)\)
      \(\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}\)
  • 쌍곡기하학 세계의 플라톤 다면체(Platonic solid), 즉 정다면체
    • 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
    • 자기동형군, 즉 대칭군은 \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{F}_ 7)\)와 동형임.
    • 168가지의 대칭을 가짐



자기동형군

  • \(x^3y+y^3z+z^3x=0\)
  • order 3
    x-> y-> z-> x
  • order 7
    x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c
    we want \(a^3b=b^3c=c^3a\)
    solution \[ a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1\] where \(\zeta^7=1\)


PSL(2,7)

  • PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
  • GL(2,7) has order (7^2-1)(7^2-7)
  • SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
  • PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
  • 크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)
    a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 모듈라 군(modular group) 의 원소)
    \(S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \(T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)



PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 \( \mathbb{C}[x,y,z]\)에 작용한다.

any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.

(generated by order 3 transformation x-> y-> z-> x and order 7 transformation x->ax, y->by, z->cz where a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1)

Not many invariant elements of degree 4.

Only monomials of degree 4 invariant under elements of order 7 are x^3y,y^3z,z^3x.

If in addition we require invariance under x->y->z-> x, only possibility is constant \times (x^3y+y^3z+z^3x).

If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on x^3y+y^3z+z^3x=0




(2,3,7) 삼각형

  • 삼각형의 세 각이 각각
    \(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)
    로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,
    \(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\)
    가 되어, 180도보다 작게 된다.
  • 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
  • 쌍곡기하학 항목 참조



전개도

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세타함수

  • 세타함수
    \(\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\)
    \(\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\)
    \(\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\)
  • 세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다
    \(x=\theta_{7,1}\),\(y=-\theta_{7,5}\)\(z=\theta_{7,3}\)
    \(x^3y+y^3z+z^3x=0\)
    \(xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2\)



조각

[/pages/3063024/attachments/1372200 DSCN4142.JPG]







메모



매스매티카 파일 및 계산 리소스



관련된 항목들



사전형태의 자료

관련도서



관련논문



블로그

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