"클라인의 4차곡선"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 12일 (토) 11:25 판

개요

종수(genus)가 3인 복소대수곡선
- \(\mathbb CP^2\) 에서 \(x^3y+y^3z+z^3x=0\) 로 주어진 (복소) 대수곡선
- 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면\[\mathbb H^2/\Gamma(7)\]\[\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}\]
쌍곡기하학 세계의 플라톤 다면체(Platonic solid), 즉 정다면체
- 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
- 자기동형군, 즉 대칭군은 \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{F}_ 7)\)와 동형임.
- 168가지의 대칭을 가짐

자기동형군

\(x^3y+y^3z+z^3x=0\)
order 3
x-> y-> z-> x
order 7
x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c
we want \(a^3b=b^3c=c^3a\)
solution \[ a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1\] where \(\zeta^7=1\)

PSL(2,7)

PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
GL(2,7) has order (7^2-1)(7^2-7)
SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)
a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 모듈라 군(modular group) 의 원소)\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \], \(T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 \( \mathbb{C}[x,y,z]\)에 작용한다.

any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.

(generated by order 3 transformation x-> y-> z-> x and order 7 transformation x->ax, y->by, z->cz where a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1)

Not many invariant elements of degree 4.

Only monomials of degree 4 invariant under elements of order 7 are x^3y,y^3z,z^3x.

If in addition we require invariance under x->y->z-> x, only possibility is constant \times (x^3y+y^3z+z^3x).

If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on x^3y+y^3z+z^3x=0

(2,3,7) 삼각형

삼각형의 세 각이 각각\[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\]
로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,\[\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\]
가 되어, 180도보다 작게 된다.
쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
쌍곡기하학 항목 참조

전개도

세타함수

세타함수\[\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]\[\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]\[\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]
세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다\[x=\theta_{7,1}\],\(y=-\theta_{7,5}\)\(z=\theta_{7,3}\)\[x^3y+y^3z+z^3x=0\]\[xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2\]

조각

메모

http://www.youtube.com/watch?v=-FB045lx05M
http://www.ams.org/notices/201007/rtx100700840p.pdf
A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7\[Times]24, 일주일에 담긴 시간의 수
쌍곡기하학의 정다면체로 이해할 수 있음.
- 정칠각형 24조각
Magnetic Klein Quartic
http://www.math.uic.edu/~agol/conglink.pdf

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 *  종수(genus)가 3인 복소대수곡선<br>
 ** <math>\mathbb CP^2</math> 에서 <math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math> 로 주어진 (복소) 대수곡선
-** [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]]을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면<br><math>\mathbb H^2/\Gamma(7)</math><br><math>\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}</math><br>
+** [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]]을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면:<math>\mathbb H^2/\Gamma(7)</math>:<math>\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}</math><br>
 * [[쌍곡기하학]] 세계의 플라톤 다면체(Platonic solid), 즉 [[정다면체]]<br>
 ** 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
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 * SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
 * PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
-*  크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)<br> a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 [[모듈라 군(modular group)]] 의 원소)<br><math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math>T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
+*  크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)<br> a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 [[모듈라 군(modular group)]] 의 원소):<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math>T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
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 ==(2,3,7) 삼각형==
-*  삼각형의 세 각이 각각<br><math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math><br> 로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,<br><math>\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}</math><br> 가 되어, 180도보다 작게 된다.<br>
+*  삼각형의 세 각이 각각:<math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math><br> 로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,:<math>\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}</math><br> 가 되어, 180도보다 작게 된다.<br>
 * '''쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.'''
 * [[쌍곡기하학]] 항목 참조
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 ==세타함수==
-*  세타함수<br><math>\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br><math>\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br><math>\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br>
+*  세타함수:<math>\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math>:<math>\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math>:<math>\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty</math><br>
-*  세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다<br><math>x=\theta_{7,1}</math>,<math>y=-\theta_{7,5}</math><math>z=\theta_{7,3}</math><br><math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math><br><math>xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2</math><br>
+*  세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다:<math>x=\theta_{7,1}</math>,<math>y=-\theta_{7,5}</math><math>z=\theta_{7,3}</math>:<math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math>:<math>xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2</math><br>

"클라인의 4차곡선"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 12일 (토) 11:25 판

목차

개요

자기동형군

PSL(2,7)

(2,3,7) 삼각형

전개도

세타함수

조각

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

관련된 항목들

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