클라인의 4차곡선

개요

• 종수(genus)가 3인 복소대수곡선
  • \(\mathbb CP^2\) 에서 \(x^3y+y^3z+z^3x=0\) 로 주어진 (복소) 대수곡선
  • 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면\[\mathbb H^2/\Gamma(7)\]\[\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}\]
• 쌍곡기하학 세계의 플라톤 다면체(Platonic solid), 즉 정다면체
  • 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
  • 자기동형군, 즉 대칭군은 \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{F}_ 7)\)와 동형임.
  • 168가지의 대칭을 가짐

주기 행렬

• 클라인 4차곡선의 주기 행렬

\[ \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} \rho & 1 & 1 \\ 1 & \rho & 1 \\ 1 & 1 & \rho \\ \end{array} \right) \] 여기서 \(\rho=\frac{-1+\sqrt{-7}}{2}\).

자기동형군

• \(x^3y+y^3z+z^3x=0\)
• order 3 x-> y-> z-> x
• order 7 x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c we want \(a^3b=b^3c=c^3a\) solution \[ a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1\] where \(\zeta^7=1\)

PSL(2,7)

• PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
• GL(2,7) has order \((7^2-1)(7^2-7)\)
• SL(2,7) has order \((7^2-1)7=6\times 7\times 8\)
• PSL(2,7) has order \(6\times 7\times 8/2\)
• 크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 \(a^2=b^3=c^7=abc=1\). 여기서 \(a=S, b=ST, c=T\) 로 두면 된다 (S,T는 모듈라 군(modular group) 의 원소)

\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

• PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 \( \mathbb{C}[x,y,z]\)에 작용한다.
• any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.
• (generated by order 3 transformation \(x\to y\to z\to x\) and order 7 transformation \(x\to ax, y\to by, z\to cz\) where \(a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1\) where \(\zeta^7=1\))
• Not many invariant elements of degree 4.
• Only monomials of degree 4 invariant under elements of order 7 are \(x^3y,y^3z,z^3x\).
• If in addition we require invariance under \(x\to y\to z\to x\), only possibility is \(\text{constant} \times (x^3y+y^3z+z^3x)\).
• If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on \(x^3y+y^3z+z^3x=0\)

(2,3,7) 삼각형

• 삼각형의 세 각이 각각\[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\] 로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,\[\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\] 가 되어, 180도보다 작게 된다.
• 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
• 쌍곡기하학 항목 참조

전개도

세타함수

• 세타함수\[\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]\[\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]\[\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]
• 세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다\[x=\theta_{7,1},y=-\theta_{7,5},z=\theta_{7,3}\]

\[x^3y+y^3z+z^3x=0\] \[xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2\]

조각

메모

• Yang, Lei. 2014. “Dedekind \(\eta\)-Function, Hauptmodul and Invariant Theory.” arXiv:1407.3550 [math], July. http://arxiv.org/abs/1407.3550.
• http://www.youtube.com/watch?v=-FB045lx05M
• Helaman and Claire Ferguson, Celebrating Mathematics in Stone and Bronze
• A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7*24, 일주일에 담긴 시간의 수
• 쌍곡기하학의 정다면체로 이해할 수 있음.
  • 정칠각형 24조각
• Magnetic Klein Quartic
• http://www.math.uic.edu/~agol/conglink.pdf

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYjA0YzMzNTYtYzc2Ny00NGE2LWIzY2QtMWU1MTJiODYwM2Y3&sort=name&layout=list&num=50

관련된 항목들

• 컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리
• 2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션
• 반전 사상(inversion)

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quartic

관련도서

• Edited by Silvio Levy, The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve

관련논문

• Martin Deraux, Non-arithmetic lattices and the Klein quartic, arXiv:1605.03846 [math.AG], May 12 2016, http://arxiv.org/abs/1605.03846
• Koike, Kenji. ‘The Fermat Septic and the Klein Quartic as Moduli Spaces of Hypergeometric Jacobians’. arXiv:1505.02471 [math], 10 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.02471.
• Ramanujan modular forms and the Klein quartic
  • G. Lachaud, Mosc. Math. J., 5:4 (2005), 829-856
• King, R. Bruce. ‘Riemann Surfaces as Descriptors for Symmetrical Negative Curvature Carbon and Boron Nitride Structures’. Croatica Chemica Acta 75, no. 2 (3 June 2002): 447–73.
• Shimura curve computations
  • Noam Elkies, "Algorithmic Number Theory: 3rd International Symposium, ANTS-III; Portland, OR, 6/98: Proceedings", J.P.Buhler, ed.; Lecture Notes in Computer Science, Vol .1423, pages 1-47, 2000
• On the Order-Seven Transformation of Elliptic Functions
  • Felix Klein (translated by Silvio Levy)
• A Hyperbolic Plane Coloring and the Simple Group of Order 168
  • Dana Mackenzie, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 8 (Oct., 1995), pp. 706-715
• Prapavessi, Despina T. 1994. “On the Jacobian of the Klein Curve.” Proceedings of the American Mathematical Society 122 (4): 971–978. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2161162.

블로그

• 유한단순군 시간을 말하다, 피타고라스의 창