타원곡선 y²=x³-x

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 26일 (토) 10:44 판
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개요
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    타원곡선 \(y^2=x^3-x\)
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  • 유리수해
    \(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
  • 주기
    \(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
    \(2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
  • 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교

 

모듈라 형식
  • 유리수체 위의 해의 개수
    \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
    \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
    \(a_p=p+1-M_p\)
  • 모듈라 형식
    \(f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots\)

 

 

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