타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)

수학노트
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개요

  • j-불변량
    • 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
  • 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
  • 복소 이차 수체의 class field 이론에서 중요한 역할
  • 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장


정의

  • <math>q=e^{2\pi i\tau},\tau\in \mathbb{H}</math>라 두자
  • 타원 모듈라 j-함수는 다음과 같이 정의된다
<math>

j(\tau)= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots </math> 여기서

<math> E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots,\quad \sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3</math>는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series),
<math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots</math> 는 판별식 함수
  • 다음과 같이 쓰기도 한다
<math>j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}</math>

여기서 <math>g_2,g_3</math>는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조


singular moduli

  • quadratic imaginary number 에서의 값
  • 예 :
<math>j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3</math>
<math>

x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3 </math> 의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자

<math>

j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)</math>

  • 이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다
<math>

x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 </math>


슈나이더의 정리

  • 복소상반평면의 대수적 수 <math>\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}</math>에 대하여, <math>\tau</math>가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, <math>j(\tau)</math>는 초월수이다.



푸리에 계수

  • <math>j(\tau)=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n=q^{-1}+744+196884q+\cdots</math>로 두면, <math>c(n)</math>은 다음과 같이 주어진다
  • 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
  • 근사식 [Rademacher1938]
<math>c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})</math>

여기서 <math>I_ 1</math> 은 베셀 함수,

<math>A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }</math>

이 때, <math>hh'\equiv -1 \mod k</math>. <math>A_k(n)</math>은 클루스터만 합의 특수한 경우

  • 점근 급수
<math>

c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right) </math>


무한곱

<math>

j(p)-j(q)= \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c(nm)} </math>


모듈라 다항식

Z}}[x,y]</math>이 존재하며, 이 때 차수는 <math>x,y</math> 각각에 대하여 <math>\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)</math>로 주어진다


역사

  • 1877 데데킨트
  • 1878 클라인


메모

  • Hilbert class fields of imaginary quadratic fields are generated by singular moduli


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 자료



관련도서


리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Nicolas Brisebarre, and Georges Philibert. 2003. “Effective lower and upper bounds for the Fourier coefficients of powers of the modular invariant j.” Research report. http://lara.inist.fr/handle/2332/864.
  • Gross, Benedict H., and Don B. Zagier. 1985. “On Singular Moduli.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik. [Crelle’s Journal] 355: 191–220. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662
  • Cohen, Paula. 1984. “On the Coefficients of the Transformation Polynomials for the Elliptic Modular Function.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 95 (3): 389–402. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100061697.
  • Herrmann, Oskar. 1975. “Über Die Berechnung Der Fourierkoeffizienten Der Funktion <math>j(\tau )</math>.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik 274/275: 187–195. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002190532&IDDOC=253998
  • Lehmer, D. H. 1942. “Properties of the Coefficients of the Modular Invariant J(τ).” American Journal of Mathematics 64 (1) (January 1): 488–502. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2371699.
  • [Rademacher1938] Rademacher, Hans. 1938. “The Fourier Coefficients of the Modular Invariant J(τ).” American Journal of Mathematics 60 (2) (April 1): 501–512. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2371313.
  • H. Petersson: [1]. "fiber die Entwicklungskoefficienten der automorphen Formen," Acta, Mathe- matica, vol. 58 (1932), p. 202.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'monster'}, {'LOWER': 'lie'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
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