후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)

수학노트
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개요

  • 후르비츠 제타함수를 다음과 같이 정의
<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
<math>\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}</math>


덧셈공식

  • 다음이 성립한다
<math>k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)</math>


디리클레 L-함수와의 관계

<math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math>
  • 가령 <math>\chi</math>가 <math>\chi(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면
<math>L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math>


에르미트의 적분표현

  • <math>\operatorname{Re} a > 0 </math> 일 때,
<math>\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}</math>


감마함수와의 관계

정리 (Lerch)

다음이 성립한다

<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\label{her}</math>


증명

위에 있는 에르미트의 적분표현 \ref{her}과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용■



베르누이 다항식과의 관계

  • 정수 <math>n\geq 0</math>에 대하여 <math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math>
  • 특히, <math>n=0</math>이면 <math>\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x</math>
  • 베르누이 다항식


메모

<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>

<math>\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}</math>

<math>\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a</math>

<math>\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+\log a</math>

<math>G(a)=e^{\zeta'(0,a)}</math>라고 두면, <math>G(a+1)=aG(a)</math>.

<math>a>0</math> 일때, <math>G(a)</math>는 로그 볼록성을 가진다.

또한 <math>G(a)</math>는 <math>a>0</math>에서 해석함수이다.

감마함수의 성질로부터 <math>G(a)=G(1)\Gamma(a)</math>

<math>G(1)=\zeta'(0)</math> 이므로, <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)

<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math> 임이 증명된다.


역사



관련된 항목들


수학용어번역


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Oswald, Nicola M. R., and Jörn Steuding. ‘Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz’. arXiv:1506.00856 [math], 2 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.00856.


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hurwitz'}, {'LOWER': 'zeta'}, {'LEMMA': 'function'}]
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