후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)

개요

• 후르비츠 제타함수를 다음과 같이 정의

\[\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\]

• \(a=1\) 인 경우, 리만제타함수가 됨
• \(a=q/p\) 인 경우,

\[\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\]

덧셈공식

• 다음이 성립한다

\[k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)\]

디리클레 L-함수와의 관계

• \(\chi\)가 주기가 \(p\)인 디리클레 지표라고 하면, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 쓸 수 있다

\[L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)\]

• 가령 \(\chi\)가 \(\chi(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면

\[L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\]

에르미트의 적분표현

• \(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때,

\[\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\]

감마함수와의 관계

정리 (Lerch)

다음이 성립한다 \[\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\label{her}\]

증명

위에 있는 에르미트의 적분표현 \ref{her}과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용■

베르누이 다항식과의 관계

• 정수 \(n\geq 0\)에 대하여 \(\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\)
• 특히, \(n=0\)이면 \(\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x\)
• 베르누이 다항식

메모

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)

\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)

\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+\log a\)

\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).

\(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.

또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.

감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)

\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 디리클레 L-함수의 미분
• 로그 탄젠트 적분(log tangent integral)
• 감마함수
• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리
• 파이가 아니라 2파이다?

수학용어번역

• Hurwitz - 발음사전 Forvo

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function

리뷰, 에세이, 강의노트

• Oswald, Nicola M. R., and Jörn Steuding. ‘Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz’. arXiv:1506.00856 [math], 2 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.00856.

관련논문

• Dowker, J. S. “Computation of the Derivative of the Hurwitz Zeta-Function and the Higher Kinkelin Constants.” arXiv:1506.01819 [hep-Th], June 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.01819.
• Szabłowski, Paweł J. “A Few Remarks on Values of Hurwitz Zeta Function at Natural and Rational Arguments.” arXiv:1405.6270 [math], May 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.6270.
• Chatterjee, Tapas, and Sanoli Gun. “On the Zeros of Generalized Hurwitz Zeta Functions.” arXiv:1407.8319 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8319.
• On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1
  • Olivier Espinosa and Victor H. Moll
• On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2
  • Olivier Espinosa and Victor H. Moll
• A class of logarithmic integrals
  • Victor Adamchik, 1997
• The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function
  • Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
• On the Hurwitz zeta-function
  • Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q1638777

Spacy 패턴 목록

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